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🎉欢迎大家来到我的博客！！🎉
这个笔记是关于电磁场与电磁波的，主要记录的是南理工线下课程的笔记，笔记会随着课程的进度缓步更新，预计到本学期课程结束，该部分的笔记才会完结！
建议大家使用电脑来查看笔记内容，会有最好的显示效果。
南理工线下笔记
矢量分析（第一章）
💡 Key Words
这里的关键词只是帮助大家看完右侧的笔记后回忆内容，不是跳转链接！！
- 矢量 标量
- 矢量的基本运算
- 三个正交坐标系
- 方向导数和梯度
- 通量与散度
- 环流、环流面密度与旋度
- 无旋场 无源场
- 拉普拉斯运算 格林定理
- 亥姆霍兹定理
🔗 Relevant Information
南理工课件是本校老师辛苦制作的，仅供学习交流，勿做商用！！
📝 Class Notes
第一章部分的公式会比较多，这一章是分析理解后面章节公式的基础，虽然考试不会过多涉及这一章中的公式计算，但要想学好电磁场这门课，就必须要学好这一章节的内容。
矢量的介绍
矢量和标量的引入：
矢量的坐标表示：
矢量的运算
一些运算没有专门再做笔记，毕竟和小学代数规则是一样的。
矢量的点积和叉积
矢量点积的结果是一个标量，矢量叉积的结果是一个矢量（因此结果中要乘上 ），矢量的叉积通过行列式的方式记忆最为简单。
关于图中行列式的计算过程如下：
矢量的混合运算
标量三重积和矢量三重积是非常重要的两个公式，虽然考试的时候不会涉及，但是在后面的公式推导中是非常重要的，因此需要牢记！！
三种常见的正交矢量坐标系
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。在这一部分中，理解各个参量的含义非常重要，死记硬背绝对不行。这一部分最基本要把三个坐标系的线元矢量的空间表示都理解清楚，闭上眼睛能够想象出三个坐标系的图像表示才算入门。
⭐直角坐标系
直角坐标系比较好理解，将图像左侧的公式与右侧的图像对应起来就可以了。
公式中使用 dx, dy, dz 来表示微小的步长，把它当作像是 x, y, z 这样的变量就可以了。dydz 、 dxdy 以及 dxdz 都表示的是面积（长x宽），是标量，而“面元矢量” 顾名思义是一个矢量，因此要乘以单位向量，以面元的垂直方向作为面元矢量的方向。
⭐ 圆柱坐标系
图中的线元矢量中， 表示是弧长，从圆柱中截取的一小块体积可以看成是长方体，也就是说，外围的弧长与内维的弧长是相同的。
⭐ 球坐标系
对于图中的线元矢量中的各个参量可以依照下图所示的标记理解。
上面的三个坐标系都是很重要的，要好好理解，其实对照着图像都很好记，不难。
三个坐标系之间单位矢量的关系
理解坐标系间单位矢量关系的关键在于将上面三个坐标系的图像牢牢记住，只要理解了三个坐标系线元矢量的空间表示，下面的表格看一遍就可以过了。
表格的理解方式：
以第一个表格为例，图中的表格展示了直角坐标系（）与圆柱坐标系（）之间的单位矢量转换关系。
- 在直角坐标系中， 分别表示 x 轴、y 轴和 z 轴方向的单位矢量。
- 在圆柱坐标系中， 分别表示沿径向 、方位角 和 z 轴方向的单位矢量。
表格中的矩阵是一个坐标系旋转矩阵，表示从圆柱坐标系转换到直角坐标系的单位矢量变换关系：
- 第一行是 在直角坐标系下的分量，。
- 由于是单位向量， 的大小就是 的缩放系数，其他的也是一样。
- 第二行是 在直角坐标系下的分量，。
- 第三行是 不变，因此 在两个坐标系中的分量相同，都是 。
通过这个矩阵，可以将一个向量从圆柱坐标系表示的形式转换为直角坐标系的表示形式。
场的定义与表示
物理量是标量 → 标量场；
物理量是矢量 → 矢量场；
场与时间有关 → 时变场；
场与时间无关 → 静态场。
方向导数（梯度）——标量场
方向导数和梯度的回忆
想象一下，你站在一座山上，想知道沿着不同的方向走时，地面的坡度（也就是山的陡峭程度）会如何变化。方向导数就是告诉你，在某个特定的方向上，地面的坡度有多陡。
假设我们有一张地形图，上面每个点都代表某个地方的海拔高度。你想知道，如果你往某个方向（比如向东或者向北）走，会不会越走越高或者越走越低。这时候，你就需要知道“方向导数”——也就是在某个方向上，高度变化的快慢。
- 如果你走的方向是上坡的，那方向导数就是正数，表示你越走越高。
- 如果是下坡的，那方向导数就是负数，表示你越走越低。
- 如果你在一个平坦的地方走，那方向导数就是零，表示高度没有变化。
因此方向导数是一个标量，只是使用它的正负判断我们走的方向。
现在想象一下，每次你在不同的方向走几步时，都可以找到那个方向的坡度（方向导数）。但你想知道：到底哪个方向的坡度最大呢？也就是哪个方向能让你爬得最快或者下得最快，这时候，我们引入了一个叫梯度的东西。
- 梯度是一个箭头，它总是指向坡度最陡的方向。这个方向就是你能最快速升高（或降低）的方向。
- 梯度的大小表示坡度的陡峭程度，梯度越大，表示坡越陡。
如果你沿着梯度的方向走，你会发现这是爬坡最快的方向。
其他方向的坡度变化可以通过梯度来计算。例如，如果你想知道沿着某个特定方向走时的坡度是多少，你只需要把梯度和这个方向做一个“点积”（简单来说，就是把两个东西“相乘”），就是将梯度投影到那个方向上去就行了。
几何上，梯度表示函数在某个方向上的变化速率。它回答了这样一个问题：如果我们在 x 点沿着某个方向 移动，函数值将如何变化？
- 当方向导数为正时，函数值沿着这个方向增大。
- 当方向导数为负时，函数值沿着这个方向减小。
- 当方向导数为 0 时，函数值在这个方向上不变（可能存在极值点）。
当我们求出 x，y，z 三个方向的导数值，并将三个导数值组成一个坐标后，它就表示的是这条直线的梯度，因此梯度是一个向量。
方向导数（标量）和梯度（矢量）表达式
梯度就是函数在某点变化最快的方向，是由三个坐标分量的导数组成的，是一个矢量。
nabla 算子表示的是在相应坐标系下对三个分量的偏导，如直角坐标系下 nabla 算子为 。因此梯度就可以表示为 的形式。
图中圆柱坐标系里，注意第二项的 是在分母的位置上的，因为原来的 ，u 对三个分量进行偏导后，它们就是在分母的位置。球坐标系也是同样的道理。
方向导数就是梯度在某个方向上的投影，将梯度与某个方向的单位向量进行点积，结果就是该方向的方向导数，方向导数是一个标量。在这里，单位向量使用的是直角坐标系中的表示，坐标是与三个坐标轴夹角的余弦值，因此就可以得到下图所示的公式：
方向导数和梯度的简单的示例：
方向导数是数学分析中的一个重要概念，它描述了一个多元函数在某一指定方向上的变化率。它是多元函数的偏导数概念的扩展。方向导数的引入允许我们在任意方向上研究函数的变化，而不仅仅是沿坐标轴方向。
设 ，即一个二维坐标下的函数。我们计算它在点 (1, 1) 处沿着方向 的方向导数：
- 首先计算梯度：
在点 (1, 1) 处，梯度为：
- 单位方向向量为：
- 方向导数为：
教材中对于方向导数和梯度的介绍
方向导数：
梯度：
梯度的相关性质
例题
题目：
求解过程：
梯度值就是梯度向量的模长。
矢量场的通量与散度——矢量场
通量（Flux）—— 标量
矢量线的定义及矢量线的方程：
通量基本概念的介绍：
通量的形象化理解
你可以把通量想象成有多少东西（比如水、空气、或者风）通过一个面积（比如网、门或者窗）流动。图中的通量公式正是用来描述矢量场（比如风场、水流场）通过某个曲面时，经过那个表面的“流动量”。
图中的公式：
可以分解成几个部分：
- 这是矢量场，也就是表示空间中每个点上的“流动方向和大小”。比如，你可以想象这是风在每个位置的吹风方向和风速。
- ：这是一个小小的面积片，它代表曲面 S 上的一个小部分。这个面积片有一个方向，叫做法向量 ，它总是垂直于面积。
- ：这是矢量场在某个点上穿过该点所在的小面积片的“穿透量”。你可以想象，如果风正好垂直吹向你的窗户，风穿过窗户的通量就会很大；但如果风是平行吹过窗户，通量就会很小，甚至为零。
把每一条矢量线都看作是一根水管子，水管子通过各种角度穿过一个面，一根水管子的水量乘以单位面积就是这跟水管子的通量大小，当然，水是朝一个方向流动的，因此还要乘以单位矢量表明通量的方向。
通量的结果是一个标量。
如何理解公式中的积分？
假设我们有一张网，风通过这张网吹过来。这个通量公式会帮我们计算出总共有多少风通过网吹过。我们把网分成很多很多的小方格（也就是小面积片），每个方格都计算一下有多少风穿过它。最后把所有小方格穿过的风加起来，就是整个网的通量。
通量的物理意义：
通常来说，对于一个闭合曲面而言，进入的矢量线数量会等于出去的矢量线的数量，但是，当闭合曲面内部有源的时候，出入闭合曲面的矢量线代数和不为 0 ，如果内部是正源，则源向外产生矢量线；如果是负源，则源会吸收部分传入的矢量线。
因此，可以通过 通量 是否为 0 来判断内部是否有源存在。
散度（Divergence）—— 标量
散度是针对闭合曲面而言的。
散度的形象化理解
散度可以用来衡量某个点上有多少“东西”从这个点发散出去或者汇集到这个点。
想象你在一个充满水的池塘里，手里拿着一个小气球。如果你把气球刺破，气体从气球里散开，朝四面八方流动，这就是发散。水流从气球的“源头”向外流动，这个过程的数学表达就是散度。反之，如果你在池塘里用一个吸管吸水，水会朝你聚拢汇集，这就是汇集。
散度的物理意义
- 散度为正：说明有东西从这个点发散出去，比如气球破了，气体往外流。
- 散度为负：说明有东西汇集到这个点，比如你用吸管吸水，水流进了吸管。
- 散度为零：说明没有明显的发散或汇集，比如在静止的水中，没有明显的水流向某处。
散度的表达式及有关公式
图中散度有关公式的记忆里，对于有标量函数参与的计算有一个记忆的小技巧，标量函数只会化为梯度的形式，矢量函数会化为散度或是旋度的形式（如果是标量函数和矢量函数参与散度计算，则是化为散度形式，如果参与的是旋度计算，则化为旋度的形式）。如 ，标量函数与 算子只会组合成梯度的形式，矢量函数与 算子由于是在散度的运算中，因此组成了散度的形式。
注意梯度和散度的表示是不同的，梯度的是在 nabla 算子后直接跟上 u，表示特定的梯度运算：
；
而散度实际上是一种点积运算，结果是一个标量，是 nabla 算子与 进行点积。
直角坐标系下散度公式推导
图中的公式实际上可以通过下图的一个例子来理解：
散度定理（高斯定理）
散度定理其实就是将 通量 与 散度 联系在一起的定理，通量描述的是面上矢量线的穿入穿出情况，而散度描述的是一个点的发散、聚集情况。
矢量场的环流与旋度——矢量场
环流
举个例子，如果是空间中的一个正点电荷，它所产生的电场强度是向空间四周发散的，用一个闭合曲面围住正点电荷，矢量线会全部穿出闭合曲面；
但环流的产生有所不同，假如有一根导线，电流从一侧向另一侧流动，取导线上的某个点，该点的电流就会在导线周围激发出一圈圈的磁感应线，如果此时用一个闭合曲面去围住这个点，矢量线在穿出曲面后又会进入曲面，相当于通量一直会为 0.
图中的电流是作为漩涡源，产生了磁感应线，磁感应线就像是前面那张图中的涡轮。
环流的形象化理解
环流可以用来衡量“有多少东西绕着一个闭合路径旋转”——这条路径可以是你在空间中任意画出的圈。
想象你在池塘里划一个圈，池塘中的水流可以绕着这个圈旋转。假设你用一个小船桨在水里打圈，水开始绕着圈转动，那么这就是环流。环流表示的是沿着你画的圈流动的总量。
- 如果水绕着你划出的路径旋转，那环流就不为零。环流越大，水流旋转得越快。
- 如果水是静止的，或者不绕圈转动，环流就是零。
旋度表达式
与前面通量和散度类似，环流是研究环路的，旋度是研究某个点的。环流面密度与旋度之间的关系有点类似于方向导数与梯度之间的关系。方向导数值最大的方向就是梯度的方向，同样，环流面密度最大的方向就是旋度的方向。
旋度的计算公式：
可以激发出一圈圈的环流，但如果要表示 的方向，需要依据坐标系分解为三个分量（以直角坐标系为例）。
直角坐标系下的公式比较好记，但是圆柱坐标系和球坐标系下的公式比较难记，可以参考 “球坐标系下梯度、散度和旋度公式理解这个区块的内容👇🏾”。
旋度的相关公式
矢量场的旋度的散度恒为零：
- 旋度描述的是矢量场在某一点的局部旋转趋势。
- 散度描述的是矢量场在某一点的发散或汇聚趋势。
当我们计算一个矢量场的旋度后，再计算旋度的散度，结果始终是零。这意味着任何矢量场的旋度都没有发散性，即旋度本身不会有源或汇集的性质。
标量场梯度的旋度恒为零：
- 梯度表示标量场在某一点的变化率和变化方向。
- 旋度描述矢量场在某一点的局部旋转趋势。
梯度是标量场的方向导数，它描述的是标量场在各个方向上的变化率。当我们计算标量场的梯度后，再计算它的旋度，结果始终是零。这意味着标量场的梯度没有旋转的性质。
斯托克斯定理
斯托克斯定理将的就是一条闭合曲线上的线积分会等于任何以这条闭合曲线为开口的曲面的旋度。以这条闭合曲线为开口的曲面的旋度等于曲面上无数个小方片的旋度之和（由于是连续的，使用积分表示），每两个相邻的小方片之间的旋度会相互抵消一部分，最终呈现的效果与闭合曲线的线积分相同，因此这个公式是成立的。
旋度和散度的区别
⭐ 如何快速记忆柱坐标系和球坐标系下梯度、散度和旋度公式
这个部分我是看的 b 站 up 主 @ 风圁落叶憩 的讲解，视频原链接：关于直角坐标系 柱坐标系 球坐标系下的梯度散度旋度的推导_哔哩哔哩_bilibili，大家可以直接点击链接观看原视频讲解。
这里简述一下视频中的内容。
视频中 up 主提出了一个叫“拉梅系数”的概念，拉梅系数是不同的坐标系下 （一个中间量）的值，可以方便我们记忆不同坐标系下散度和旋度的公式。
在直角坐标系下， = 1， ， ;
在柱坐标系下， = 1， ， ;
在球坐标系下，， ， ;
梯度的表达式可以用拉梅系数重新写为：
散度的表达式可以用拉梅系数重新写为 ：
旋度的表达式可以用拉梅系数重新写为：
上面两个公式中的 和 是坐标系三个分量的单位向量， 表示矢量函数 A 在坐标系的三个分量（梯度不用区分，因为梯度是对标量场而言的），需要根据具体的坐标系进行调整。 表示的是矢量场，A 表示的是标量场。
现在，我们只需要记住在柱坐标系和球坐标系中 h 的值以及计算公式，就可以写出不同坐标系下的旋度散度公式了。
原先需要记住 6 个公式，现在只需要记住 5 个公式，前者是没有关联的，后者是相互关联的，因此会好记很多。
在这里，柱坐标系中的散度公式需要额外注意一下，它有两种形式：
① ；
② 。
第二种形式是第一种形式的变体，因为 ，而等式右侧的第一个部分 的 ρ 与前面的 相互抵消，等式右侧的第二个部分的 ρ 对 z 求偏导等于 0，因此两个式子是等效的。
无旋场和无源场
散度源是标量源，旋度源是矢量源。散度源和旋度源的最后一句话其实就是在说，散度源或是旋度源的强度越强的时候，对应的散度或是旋度也会越强，这种关系是呈正比的。
矢量场按照源来分类：
拉普拉斯运算与格林定理
拉普拉斯运算：
球坐标系的式子中，最终结果里的最后一项 的分母中 少了平方，应改为 。 
三个坐标系计算公式的具体推导过程
矢量拉普拉斯计算似乎有个口诀来着——”叉积^2 = 梯散 - 双旋“
格林定理：
格林公式的形象解释
假设你有一个区域 V，这个区域是被一个曲面 S 包围的。你可以把 V 想象成一块被一个气球包住的水，而 S 就是这个气球的表面。现在，在这个区域 V 里面有两个场，分别叫 和 ，它们表示某种在区域中的“量”在空间中是如何分布的。比如， 可以代表温度， 可以代表压力。
格林定理告诉我们，想要在整个区域 V 里计算某些量时，可以将计算转化到区域的表面 S 上去，这样计算就变得简单了。定理中的公式涉及一些微分和积分的符号，表面上看起来有些复杂，但它们的核心思想其实就是“将一个区域内的变化，转化为这个区域边界上的变化”。
公式的记忆我暂时也没有什么很好的方法。。。😟
