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Sep 17, 2024
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南理工，大三
🎉欢迎大家来到我的博客！！🎉
电磁场与电磁波这门课比较的抽象，需要记忆大量的公式和定理。对于南理工电光的友友们，不仅需要记忆公式做题，还需要对各个定理的含义、公式的含义熟悉，虽然有大物的基础，但也不可马虎，需要花费比较多的时间钻研教材与记忆公式。
本人电磁场绩点 4.0，学习方法“多看教材，多抄公式”。
P.S. 建议大家使用电脑来查看笔记内容，会有最好的显示效果。
课程资源
南理工课件是本校老师辛苦制作的，仅供学习交流，勿做商用！！
南理工电光电磁场期末试卷
预备知识
电磁场与电磁波这门课中会经常使用到线性代数中的矩阵、行列式，这里帮助大家简单做些回顾，更详细的推导和更多的性质请自行阅读线性代数教材。
线性代数行列式的回顾
- 行列式线性性质：
行列式外乘以一个系数，相当于是行列式中某一行或是某一列的所有元素都乘以这个系数，行列式被放大 k 倍；
- 行列式交换性质：
- 交换行列式的两行或两列，其行列式会变号。例如，如果将矩阵的第 i 行和第 j 行互换，则：
- 如果行列式中的两行或两列完全相同，那么行列式的值为零。
- 行列式的倍乘性质：
若将行列式的一行（或列）的倍数加到另一行（或列），行列式的值不变，这个性质常用于行列式的化简。
- 行列式的乘法性质：
两个矩阵相乘的行列式等于它们各自行列式的乘积。
- 行列式的转置性质：
矩阵的行列式与其转置的行列式相等。
- 行列式的零行与零列性质：
若行列式的某一行或某一列全为零，则行列式的值为零。
- 单位矩阵的行列式为 1：
对于 nxn 的单位矩阵 I，有：
线性代数中的混合积公式
混合积可以用行列式计算：
其中 、 和 是向量 、 和 的分量。也就是说，混合积其实就是一个行列式，更具体的说，它是一个平行六面体的体积。
只要抓住混合积的行列式性质，后面几个混合积的性质就很容易记住了。
- 混合积满足循环交换的性质，即：
这说明我们可以对混合积中的三个向量进行循环排列，但结果不变，注意，是三个变量同时向左移动且符号位置不变或同时向右移动且符号位置不变时，结果才会相同。
- 如果交换混合积中的任意两个向量，会得到相反数，即：
这表示，改变向量的顺序会改变混合积的符号。
上面的两个性质都利用了行列式中的交换性质，任意交换行列式中的两行或两列，行列式的值会取负，但如果你进行两次的任意交换，那么交换前后的混合积是相等的。
叉乘公式
双曲正弦函数和双曲余弦函数
双曲正弦函数和双曲余弦函数的指数表达式分别为：
- 双曲正弦函数（Hyperbolic Sine Function）：
- 双曲余弦函数（Hyperbolic Cosine Function）：
物理量量纲
注意：量纲不等同于单位！量纲是表征物理量的性质（类别），反映了物理量的本质；而单位是度量物理量大小或数量的标准，是人对量纲这一客观性质的主观反映。所以，针对不同的情形，量纲相同的物理量可以用多种不同单位来度量。
微分：
对时间微分：原量纲乘以
梯度、散度、旋度（对空间的一阶微分运算）：原量纲乘以 。
调和量（对空间的二阶微分运算）：原量纲乘以 。
物理量 | 符号 | 量纲 | 常用单位 |
电场强度 | 牛顿每库伦 | ||
电位移 | 库伦每平方米 | ||
磁场强度 | 安培每米 | ||
磁感应强度 | 特斯拉 | ||
电容率；介电常数 | 法拉每米 | ||
磁导率 | 亨利每米 | ||
电荷密度（体密度） | 库伦每立方米 | ||
电流密度（面密度） | 安培每平方米 |
物理量 | 符号 | 量纲 | 常用单位 |
自由电荷面密度 | 与电位移相同 | ||
自由电流线密度 | 与磁场强度相同 | ||
单位法矢量 | 无量纲 | ㅤ |
物理量 | 符号 | 量纲 | 常用单位 |
角速度 | 弧度每秒 | ||
波数；相位常数 | 弧度每米 |
其他常用电学量（常见于传输线）
物理量 | 符号 | 量纲 | 常用单位 |
电压 | 伏特 | ||
电流 | 安培 |
电磁场能量相关物理量
物理量 | 符号 | 量纲 | 常用单位 |
功率 | 瓦特 | ||
坡印廷矢量，功率密度（面密度） | 瓦特每平方米 | ||
电导率 | 西门子每米 | ||
壁电流（可用于计算波导中的损耗） | 安培每米，与 H 单位相同 |
电磁场中比较重要的常量
1. 真空中的电磁常量
- 真空介电常数（Permittivity of Free Space）：
- 数值：（法拉每米）
- 物理意义：真空中电场产生的单位电位移强度，决定了电荷间库仑力的强度。
- 真空磁导率（Permeability of Free Space）：
- 数值：（亨利每米）
- 物理意义：描述了真空中磁场的强度，决定了磁场中磁力线的分布及其与电流的关系。
- 真空光速（Speed of Light in Vacuum）：c
- 数值：，光速的数值是通过真空介电常数与真空磁导率计算出来的。
- 物理意义：表示电磁波在真空中的传播速度，与真空介电常数和真空磁导率的关系为 。
2. 库仑常量
- 库仑常量（Coulomb's Constant）：
- 数值：
- 物理意义：用于描述两个点电荷之间的静电力大小，其值为 。
3. 电荷常量
- 基本电荷（Elementary Charge）：e
- 数值：（库仑）
- 物理意义：电子或质子的电荷量，所有电荷量都可以看作是基本电荷的整数倍。
4. 普朗克常量
- 普朗克常量（Planck's Constant）：h
- 数值：
- 物理意义：在量子电动力学中，普朗克常量用于计算光子能量 （为频率），与电磁波的量子性质相关。
5. 波尔兹曼常量
- 波尔兹曼常量（Boltzmann's Constant）：
- 数值：
- 物理意义：在电磁场的热力学分析中，用于描述热运动与能量之间的关系，例如在黑体辐射和热辐射问题中。
矢量分析（第一章）
📝 Class Notes
第一章部分的公式会比较多，这一章是分析理解后面章节公式的基础，虽然考试不会过多涉及这一章中的公式计算，但要想学好电磁场这门课，就必须要学好这一章节的内容。同时，由于南理工电磁场考试中会有很多涉及公式推导的题目，且大题部分对公式的考察比较灵活，因此只有利用这一章节的知识将后续章节的公式都自己多推导几遍，考试才不会出问题。
⭐ 第一章的学习方法（重要！！）
第一章公式繁多，公式都比较复杂难懂，因此学起来会非常吃力。
我们的电磁场老师讲课也基本是照着 ppt 念，赶进度，没有深入阐释公式原理内容，因此在本章中，教材内容的阅读是非常重要的，在学习电磁场之前，需要先明白以下几点：
① 首先，第一章的公式是基础，对第二章的公式推导和记忆很有帮助，尤其是高斯定理和斯托克斯定理的两个公式，记熟这两个公式，后面的很多公式都可以少记一半；而前两章公式也是后续章节的基础。
② 其次，在后续章节的笔记中，我更多的会将课本原文的内容贴出，并对课本中的重要内容作出标记和解释，对于 ppt 的内容，大家可以自行查看，或是在期末复习时使用。
③ 第一章中部分公式是经验公式，需要死记，其他很多公式可以通过经验公式推出。
对于电磁场公式的学习，我建议大家采用最原始但是最有效的方法——“抄”。我会将第一章和第二章需要抄写的公式都放入【抄写页面】 中。后续章节的公式会以这两个章节的公式为基础，因此第一章和第二章的公式是十分重要的，第三章及以后的公式需要大家自行阅读教材抄写（建议大家将公式都从头推一遍，其他学校我不知道，但对南理工，是有考公式推导的。）
怎么抄？
刚开始学习时，每天或每两天抽 30 分钟的时间进入【抄写页面 】将第一章和第二章的公式都抄写一遍，包括推导过程中的公式。刚开始抄的时候无脑抄就行，先对公式留下印象；抄了三到四天以后（这里和后面都以每天抄为例，如果每两天抄一次时间上可以自己再调整），可以放慢抄的速度，让大脑对公式的推导过程有一个大致的印象；抄了一周半左右的时间后，可以尝试看看公式的推导过程，然后自己上手推导一遍（可以分部分进行推导，比如电磁感应公式部分、静电场公式部分），哪里忘了，就回到相应部分的过程中看一下；两到三周以后，基本上就对第一章和第二章的公式都熟悉了。当然，在这个过程中，你可能会对推导过程中出现的公式感到好奇，那么就可以回到教材。
第一章公式都掌握后，就可以开始第二章往后的学习了，建议先将教材这一章先读一遍，第一遍读可以不用抄写，在第二遍读的时候再抄教材中我标黄的公式。
矢量的介绍
矢量和标量的引入：
矢量的坐标表示：
矢量的运算
一些运算没有专门再做笔记，毕竟和小学代数规则是一样的。
矢量的点积和叉积
矢量点积的结果是一个标量，矢量叉积的结果是一个矢量（因此结果中要乘上 ），矢量的叉积通过行列式的方式记忆最为简单。
关于图中行列式的计算过程如下：
矢量的混合运算
标量三重积和矢量三重积是非常重要的两个公式，虽然考试的时候不会涉及，但是在后面的公式推导中是非常重要的，因此需要牢记！！
三种常见的正交矢量坐标系
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。在这一部分中，理解各个参量的含义非常重要，死记硬背绝对不行。这一部分最基本要把三个坐标系的线元矢量的空间表示都理解清楚，闭上眼睛能够想象出三个坐标系的图像表示才算入门。
⭐直角坐标系
直角坐标系比较好理解，将图像左侧的公式与右侧的图像对应起来就可以了。
公式中使用 dx, dy, dz 来表示微小的步长，把它当作像是 x, y, z 这样的变量就可以了。dydz 、 dxdy 以及 dxdz 都表示的是面积（长x宽），是标量，而“面元矢量” 顾名思义是一个矢量，因此要乘以单位向量，以面元的垂直方向作为面元矢量的方向。
⭐ 圆柱坐标系
图中的线元矢量中， 表示是弧长，从圆柱中截取的一小块体积可以看成是长方体，也就是说，外围的弧长与内维的弧长是相同的。
⭐ 球坐标系
对于图中的线元矢量中的各个参量可以依照下图所示的标记理解。
上面的三个坐标系都是很重要的，要好好理解，其实对照着图像都很好记，不难。
三个坐标系之间单位矢量的关系
表格的理解方式：
以第一个表格为例，图中的表格展示了直角坐标系（）与圆柱坐标系（）之间的单位矢量转换关系。
- 在直角坐标系中， 分别表示 x 轴、y 轴和 z 轴方向的单位矢量。
- 在圆柱坐标系中， 分别表示沿径向 、方位角 和 z 轴方向的单位矢量。
表格中的矩阵是一个坐标系旋转矩阵，表示从圆柱坐标系转换到直角坐标系的单位矢量变换关系：
- 第一行是 在直角坐标系下的分量，。
- 由于是单位向量， 的大小就是 的缩放系数，其他的也是一样。
- 第二行是 在直角坐标系下的分量，。
- 第三行是 不变，因此 在两个坐标系中的分量相同，都是 。
通过这个矩阵，可以将一个向量从圆柱坐标系表示的形式转换为直角坐标系的表示形式。
场的定义与表示
物理量是标量 → 标量场；
物理量是矢量 → 矢量场；
场与时间有关 → 时变场；
场与时间无关 → 静态场。
方向导数（梯度）——标量场
方向导数和梯度的回忆
想象一下，你站在一座山上，想知道沿着不同的方向走时，地面的坡度（也就是山的陡峭程度）会如何变化。方向导数就是告诉你，在某个特定的方向上，地面的坡度有多陡。
假设我们有一张地形图，上面每个点都代表某个地方的海拔高度。你想知道，如果你往某个方向（比如向东或者向北）走，会不会越走越高或者越走越低。这时候，你就需要知道“方向导数”——也就是在某个方向上，高度变化的快慢。
- 如果你走的方向是上坡的，那方向导数就是正数，表示你越走越高。
- 如果是下坡的，那方向导数就是负数，表示你越走越低。
- 如果你在一个平坦的地方走，那方向导数就是零，表示高度没有变化。
因此方向导数是一个标量，只是使用它的正负判断我们走的方向。
现在想象一下，每次你在不同的方向走几步时，都可以找到那个方向的坡度（方向导数）。但你想知道：到底哪个方向的坡度最大呢？也就是哪个方向能让你爬得最快或者下得最快，这时候，我们引入了一个叫梯度的东西。
- 梯度是一个箭头，它总是指向坡度最陡的方向。这个方向就是你能最快速升高（或降低）的方向。
- 梯度的大小表示坡度的陡峭程度，梯度越大，表示坡越陡。
如果你沿着梯度的方向走，你会发现这是爬坡最快的方向。
其他方向的坡度变化可以通过梯度来计算。例如，如果你想知道沿着某个特定方向走时的坡度是多少，你只需要把梯度和这个方向做一个“点积”（简单来说，就是把两个东西“相乘”），就是将梯度投影到那个方向上去就行了。
几何上，梯度表示函数在某个方向上的变化速率。它回答了这样一个问题：如果我们在 x 点沿着某个方向 移动，函数值将如何变化？
- 当方向导数为正时，函数值沿着这个方向增大。
- 当方向导数为负时，函数值沿着这个方向减小。
- 当方向导数为 0 时，函数值在这个方向上不变（可能存在极值点）。
当我们求出 x，y，z 三个方向的导数值，并将三个导数值组成一个坐标后，它就表示的是这条直线的梯度，因此梯度是一个向量。
方向导数（标量）和梯度（矢量）表达式
梯度就是函数在某点变化最快的方向，是由三个坐标分量的导数组成的，是一个矢量。
nabla 算子表示的是在相应坐标系下对三个分量的偏导，如直角坐标系下 nabla 算子为 。因此梯度就可以表示为 的形式。
图中圆柱坐标系里，注意第二项的 是在分母的位置上的，因为原来的 ，u 对三个分量进行偏导后，它们就是在分母的位置。球坐标系也是同样的道理。
方向导数就是梯度在某个方向上的投影，将梯度与某个方向的单位向量进行点积，结果就是该方向的方向导数，方向导数是一个标量。在这里，单位向量使用的是直角坐标系中的表示，坐标是与三个坐标轴夹角的余弦值，因此就可以得到下图所示的公式：
方向导数和梯度的简单的示例：
方向导数是数学分析中的一个重要概念，它描述了一个多元函数在某一指定方向上的变化率。它是多元函数的偏导数概念的扩展。方向导数的引入允许我们在任意方向上研究函数的变化，而不仅仅是沿坐标轴方向。
设 ，即一个二维坐标下的函数。我们计算它在点 (1, 1) 处沿着方向 的方向导数：
- 首先计算梯度：
在点 (1, 1) 处，梯度为：
- 单位方向向量为：
- 方向导数为：
教材中对于方向导数和梯度的介绍
方向导数：
梯度：
梯度的相关性质
例题
题目：
求解过程：
梯度值就是梯度向量的模长。
矢量场的通量与散度——矢量场
通量（Flux）—— 标量
矢量线的定义及矢量线的方程：
通量基本概念的介绍：
通量的形象化理解
你可以把通量想象成有多少东西（比如水、空气、或者风）通过一个面积（比如网、门或者窗）流动。图中的通量公式正是用来描述矢量场（比如风场、水流场）通过某个曲面时，经过那个表面的“流动量”。
图中的公式：
可以分解成几个部分：
- 这是矢量场，也就是表示空间中每个点上的“流动方向和大小”。比如，你可以想象这是风在每个位置的吹风方向和风速。
- ：这是一个小小的面积片，它代表曲面 S 上的一个小部分。这个面积片有一个方向，叫做法向量 ，它总是垂直于面积。
- ：这是矢量场在某个点上穿过该点所在的小面积片的“穿透量”。你可以想象，如果风正好垂直吹向你的窗户，风穿过窗户的通量就会很大；但如果风是平行吹过窗户，通量就会很小，甚至为零。
把每一条矢量线都看作是一根水管子，水管子通过各种角度穿过一个面，一根水管子的水量乘以单位面积就是这跟水管子的通量大小，当然，水是朝一个方向流动的，因此还要乘以单位矢量表明通量的方向。
通量的结果是一个标量。
如何理解公式中的积分？
假设我们有一张网，风通过这张网吹过来。这个通量公式会帮我们计算出总共有多少风通过网吹过。我们把网分成很多很多的小方格（也就是小面积片），每个方格都计算一下有多少风穿过它。最后把所有小方格穿过的风加起来，就是整个网的通量。
通量的物理意义：
通常来说，对于一个闭合曲面而言，进入的矢量线数量会等于出去的矢量线的数量，但是，当闭合曲面内部有源的时候，出入闭合曲面的矢量线代数和不为 0 ，如果内部是正源，则源向外产生矢量线；如果是负源，则源会吸收部分传入的矢量线。
因此，可以通过 通量 是否为 0 来判断内部是否有源存在。
散度（Divergence）—— 标量
散度是针对闭合曲面而言的。
散度的形象化理解
散度可以用来衡量某个点上有多少“东西”从这个点发散出去或者汇集到这个点。
想象你在一个充满水的池塘里，手里拿着一个小气球。如果你把气球刺破，气体从气球里散开，朝四面八方流动，这就是发散。水流从气球的“源头”向外流动，这个过程的数学表达就是散度。反之，如果你在池塘里用一个吸管吸水，水会朝你聚拢汇集，这就是汇集。
散度的物理意义
- 散度为正：说明有东西从这个点发散出去，比如气球破了，气体往外流。
- 散度为负：说明有东西汇集到这个点，比如你用吸管吸水，水流进了吸管。
- 散度为零：说明没有明显的发散或汇集，比如在静止的水中，没有明显的水流向某处。
散度的表达式及有关公式
图中散度有关公式的记忆里，对于有标量函数参与的计算有一个记忆的小技巧，标量函数只会化为梯度的形式，矢量函数会化为散度或是旋度的形式（如果是标量函数和矢量函数参与散度计算，则是化为散度形式，如果参与的是旋度计算，则化为旋度的形式）。如 ，标量函数与 算子只会组合成梯度的形式，矢量函数与 算子由于是在散度的运算中，因此组成了散度的形式。
注意梯度和散度的表示是不同的，梯度的是在 nabla 算子后直接跟上 u，表示特定的梯度运算：
；
而散度实际上是一种点积运算，结果是一个标量，是 nabla 算子与 进行点积。
直角坐标系下散度公式推导
图中的公式实际上可以通过下图的一个例子来理解：
散度定理（高斯定理）
散度定理其实就是将 通量 与 散度 联系在一起的定理，通量描述的是面上矢量线的穿入穿出情况，而散度描述的是一个点的发散、聚集情况。
矢量场的环流与旋度——矢量场
环流（标量）
举个例子，如果是空间中的一个正点电荷，它所产生的电场强度是向空间四周发散的，用一个闭合曲面围住正点电荷，矢量线会全部穿出闭合曲面；
但环流的产生有所不同，假如有一根导线，电流从一侧向另一侧流动，取导线上的某个点，该点的电流就会在导线周围激发出一圈圈的磁感应线，如果此时用一个闭合曲面去围住这个点，矢量线在穿出曲面后又会进入曲面，相当于通量一直会为 0.
图中的电流是作为漩涡源，产生了磁感应线，磁感应线就像是前面那张图中的涡轮。
环流的形象化理解
环流可以用来衡量“有多少东西绕着一个闭合路径旋转”——这条路径可以是你在空间中任意画出的圈。
想象你在池塘里划一个圈，池塘中的水流可以绕着这个圈旋转。假设你用一个小船桨在水里打圈，水开始绕着圈转动，那么这就是环流。环流表示的是沿着你画的圈流动的总量。
- 如果水绕着你划出的路径旋转，那环流就不为零。环流越大，水流旋转得越快。
- 如果水是静止的，或者不绕圈转动，环流就是零。
旋度表达式（矢量）
与前面通量和散度类似，环流是研究环路的，旋度是研究某个点的。环流面密度与旋度之间的关系有点类似于方向导数与梯度之间的关系。方向导数值最大的方向就是梯度的方向，同样，环流面密度最大的方向就是旋度的方向。
旋度的计算公式：
可以激发出一圈圈的环流，但如果要表示 的方向，需要依据坐标系分解为三个分量（以直角坐标系为例）。
直角坐标系下的公式比较好记，但是圆柱坐标系和球坐标系下的公式比较难记，可以参考 “球坐标系下梯度、散度和旋度公式理解这个区块的内容👇🏾”。
旋度的相关公式
矢量场的旋度的散度恒为零：
- 旋度描述的是矢量场在某一点的局部旋转趋势。
- 散度描述的是矢量场在某一点的发散或汇聚趋势。
当我们计算一个矢量场的旋度后，再计算旋度的散度，结果始终是零。这意味着任何矢量场的旋度都没有发散性，即旋度本身不会有源或汇集的性质。
标量场梯度的旋度恒为零：
- 梯度表示标量场在某一点的变化率和变化方向。
- 旋度描述矢量场在某一点的局部旋转趋势。
梯度是标量场的方向导数，它描述的是标量场在各个方向上的变化率。当我们计算标量场的梯度后，再计算它的旋度，结果始终是零。这意味着标量场的梯度没有旋转的性质。
斯托克斯定理
斯托克斯定理将的就是一条闭合曲线上的线积分会等于任何以这条闭合曲线为开口的曲面的旋度。以这条闭合曲线为开口的曲面的旋度等于曲面上无数个小方片的旋度之和（由于是连续的，使用积分表示），每两个相邻的小方片之间的旋度会相互抵消一部分，最终呈现的效果与闭合曲线的线积分相同，因此这个公式是成立的。
旋度和散度的区别
⭐ 如何快速记忆柱坐标系和球坐标系下梯度、散度和旋度公式
这个部分我是看的 b 站 up 主 @ 风圁落叶憩 的讲解，视频原链接：关于直角坐标系 柱坐标系 球坐标系下的梯度散度旋度的推导_哔哩哔哩_bilibili，大家可以直接点击链接观看原视频讲解。
这里简述一下视频中的内容。
视频中 up 主提出了一个叫“拉梅系数”的概念，拉梅系数是不同的坐标系下 （一个中间量）的值，可以方便我们记忆不同坐标系下散度和旋度的公式。
在直角坐标系下， = 1， ， ;
在柱坐标系下， = 1， ， ;
在球坐标系下，， ， ;
梯度的表达式可以用拉梅系数重新写为：
散度的表达式可以用拉梅系数重新写为 ：
旋度的表达式可以用拉梅系数重新写为：
上面两个公式中的 和 是坐标系三个分量的单位向量， 表示矢量函数 A 在坐标系的三个分量（梯度不用区分，因为梯度是对标量场而言的），需要根据具体的坐标系进行调整。 表示的是矢量场，A 表示的是标量场。
现在，我们只需要记住在柱坐标系和球坐标系中 h 的值以及计算公式，就可以写出不同坐标系下的旋度散度公式了。
原先需要记住 6 个公式，现在只需要记住 5 个公式，前者是没有关联的，后者是相互关联的，因此会好记很多。
在这里，柱坐标系中的散度公式需要额外注意一下，它有两种形式：
① ；
② 。
第二种形式是第一种形式的变体，因为 ，而等式右侧的第一个部分 的 ρ 与前面的 相互抵消，等式右侧的第二个部分的 ρ 对 z 求偏导等于 0，因此两个式子是等效的。
无旋场和无源场
散度源是标量源，旋度源是矢量源。散度源和旋度源的最后一句话其实就是在说，散度源或是旋度源的强度越强的时候，对应的散度或是旋度也会越强，这种关系是呈正比的。
矢量场按照源来分类：
拉普拉斯运算与格林定理
拉普拉斯运算：
球坐标系的式子中，最终结果里的最后一项 的分母中 少了平方，应改为 。 
三个坐标系计算公式的具体推导过程
矢量拉普拉斯计算似乎有个口诀来着——”叉积^2 = 梯散 - 双旋“
格林定理：
格林公式的形象解释
假设你有一个区域 V，这个区域是被一个曲面 S 包围的。你可以把 V 想象成一块被一个气球包住的水，而 S 就是这个气球的表面。现在，在这个区域 V 里面有两个场，分别叫 和 ，它们表示某种在区域中的“量”在空间中是如何分布的。比如， 可以代表温度， 可以代表压力。
格林定理告诉我们，想要在整个区域 V 里计算某些量时，可以将计算转化到区域的表面 S 上去，这样计算就变得简单了。定理中的公式涉及一些微分和积分的符号，表面上看起来有些复杂，但它们的核心思想其实就是“将一个区域内的变化，转化为这个区域边界上的变化”。
公式的记忆我暂时也没有什么很好的方法。。。😟
亥姆霍兹定理
电磁场的基本规律（第二章）
📝 Class Notes
第二章及往后的图片来源均为谢处方版电磁场与电磁波教材，ISBN 号为：978-7-04-052518-2 。（左侧资料位置也有教材 pdf 文件）
下面引用的教材图片中有我的注释高亮，帮助大家快速梳理内容。本部分内容用于熟记公式后回顾教材，帮助大家更好掌握第二章的内容。
引入
2.1 节-电荷守恒定律
2.2 节-真空中电磁场的基本规律
例题 2.2.1 — 电偶极子
例题 2.2.2 — 环形薄圆盘
例 2.2.3
2.3 节-真空中恒定磁场的基本规律
例 2.3.1
2.4 节-媒质的电磁特性
例 2.4.1
例 2.4.2
例 2.4.3
例 2.4.4
哈哈，发现书上例题的一个错误，上面的立体中计算磁化电流密度的表达式， 前面漏了一个系数 ，需要注意，应该写为：
当然，也可以将行列式外面的系数代入行列式中，写为：
均匀导电媒质是指媒质中各个位置的导电率（）相同；
非均匀导电媒质是指其导电率在空间中分布不均匀，也就是说，不同位置的导电性能不同。
2.5 节-电磁感应定律和位移电流
例 2.5.1
例 2.5.2
例 2.5.3
例 2.5.4
例 2.5.5
2.6 节-麦克斯韦方程组
例 2.6.1
例 2.6.2
2.7 节-电磁场的边界条件
例 2.7.1
例 2.7.2
例 2.7.3
🌟电磁场基本方程和边界条件总结🌟
所有例题
下面整理了第二章部分教材中的所有例题，不过电荷守恒定律部分书上没有例题。
2.1 节-真空中电磁场的基本规律：
例 2.2.1 — 电偶极子
例 2.2.2 — 环形薄圆盘
例 2.2.3
2.3 节-真空中恒定磁场的基本规律：
例 2.3.1
2.4 节-媒质的电磁特性：
例 2.4.1
例 2.4.2
例 2.4.3
例 2.4.4
哈哈，发现书上例题的一个错误，上面的立体中计算磁化电流密度的表达式， 前面漏了一个系数 ，需要注意，应该写为：
当然，也可以将行列式外面的系数代入行列式中，写为：
2.5 节-电磁感应定律和位移电流：
例 2.5.1
例 2.5.2
例 2.5.3
例 2.5.4
例 2.5.5
2.6 节-麦克斯韦方程组：
例 2.6.1
例 2.6.2
2.7 节-边界条件：
例 2.7.1
例 2.7.2
例 2.7.3
第三章往后的内容我会直接附上教材原文，因为教材原文写的更加地详细且易懂，我会将相对重点的内容、公式通过高亮显示出来，帮助大家快速把握每一页的重点，原文中的例题我会放入折叠框中。
“所有例题”部分是本章内容出现的所有的例题合集，将例题再提出来作为一个板块是方便大家日后复习的时候不用一个一个翻找例题，提高复习速度。当某个例题的知识点不清晰时，可以使用 【Ctrl + F】快捷键搜索例题的名称，如 “例 3.1.1” ，会定位到教材原文出现该例题的位置，再向上滚动即可找到相应知识点。
静态电场及其边值的解（第三章）
📝 Pages in Book
第三章教材全部内容。
引入
3.1 节-静电场分析
例 3.1.1
例 3.1.2
例 3.1.3
例 3.1.4
例 3.1.5
例 3.1.6
例 3.1.7
虚位移法不考，也就是说静电力不考，感兴趣的可以往下看看。
例 3.1.8
3.2 节-导电媒质中的恒定电场分析
电荷面密度为下面的公式的原因
例 3.2.1
例 3.2.2
恒定电场与静电场的比拟
静电场中的 E 与恒定电场中的 D 具有比拟关系；
静电场中的 ε 与恒定电场中的 σ 具有比拟关系；
静电场中的电容与恒定电场中的电导具有比拟关系；
具体的公式比拟关系如下面的表格所示：
3.3 节-恒定磁场的分析
例 3.3.1
例 3.3.2
自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与电流无关。
例 3.3.3
例 3.3.4
互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围磁介质有关，而与电流无关。
例 3.3.5
例 3.3.6
例 3.3.7
虚位移法不考，也就是说磁场力不考，感兴趣的可以往下看看。
例 3.3.8
例 3.3.9
3.4 节-静态场的边值问题及解的唯一性
3.5 节-镜像法
例 3.5.1
例 3.5.2
例 3.5.3
例 3.5.4
所有例题
3.1 节 静电场分析：
3.1.2 电位函数
例 3.1.1
例 3.1.2
例 3.1.3
3.1.3 电容器的电容
例 3.1.4
例 3.1.5
3.1.3 多导体系统的部分电容
例 3.1.6
等效电容指的是”两个整体“之间的电容，因此题目中给出等效电容的值，这就意味着我们需要找到“两个整体“，弄清楚每个整体包含哪些部件。
3.1.4 静电场的能量
例 3.1.7
例 3.1.8
3.2 节-导电媒质中的恒定电场分析
3.2.2 恒定电场与静电场的比拟
例 3.2.1
例 3.2.2
3.3 节-恒定磁场分析
3.3.2 矢量磁位和标量磁位
例 3.3.1
例 3.3.2
3.3.3 电感
例 3.3.3
例 3.3.4
例 3.3.5
例 3.3.6
3.3.4 恒定磁场的能量
例 3.3.7
3.3.5 磁场力
例 3.3.8
例 3.3.9
3.5 节-镜像法
3.5.1 接地导体平面的镜像
例 3.5.1
例 3.5.2
3.5.3 导体圆柱面的镜像
例 3.5.3
3.5.4 介质平面的镜像
例 3.5.4
3.6 节的分离变量法和 3.7 节的有限差分法我们学校并没有纳入考试范围，因此没有相关的教材贴图，感兴趣的可以直接去教材原文看。
时变电磁场（第四章）
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第四章教材全部内容。
引入
4.1 节-波动方程
4.2 节-电磁场的位函数
4.3 节-电磁能量守恒定律
例 4.3.1
4.4 节-时变电磁场的唯一性定理
4.5 节-时谐电磁场
注意，这里的 是特意不包含时间 t 这个参数的，这也是为什么要单独把 留在外面的原因。
在前面提到过， 是特意不包含时间 t 这个参数的， 也是一样，因此只与空间有关，而与时间无关。
例 4.5.1
例 4.5.2
例 4.5.3
平均坡印廷矢量的公式需要掌握，但是复坡印廷定理不考，了解即可。
例 4.5.4
所有例题
4.3 节-电磁能量守恒定律
例 4.3.1
4.5 节-时谐电磁场
4.5.1 时谐电磁场的复数表示
例 4.5.1
例 4.5.2
4.5.3 复电容率和复磁导率
例 4.5.3
例 4.5.4
均匀平面波在无界空间中的传播（第五章）
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第五章教材全部内容。
引入
5.1 节-理想介质中的均匀平面波
波阻抗中定义为 是因为电场和磁场是相互垂直且相位一致的。这个物理量在后面的章节中都会涉及，是比较重要的物理量。
例 5.1.1
例 5.1.2
例 5.1.3
例 5.1.4
5.2 节-均匀平面波在导电媒质中的传播
注意，上述的衰减系数公式是考试必考的。考试中常会涉及海水的衰减系数，需要知道海水属于良导体。
例 5.2.1
例 5.2.2
5.3 节-电磁波的极化
极化波这部分主要掌握三种极化类型的判断。
在电磁波的描述中，通常以电场的极化来定义波的极化特性，因为电场更容易观测和定义。
线极化波的形成过程
一个个手画的，可能不是很好，但能明白意思就行。
圆极化波形成过程(没有弄懂左旋右旋的可以看看)
右旋极化波，Ex 分量超前 Ey 分量 π/2：
左旋极化波，Ey 分量超前 Ex 分量 π/2：
线极化波和圆极化波演示视频
视频截取自 b 站，链接： 《电磁场与电磁波》极化动画演示
椭圆极化波可以看作是把圆极化波斜着捏了一下，右旋与左旋的判断与圆极化波相同，因此没有再做视频演示。
例 5.3.1
例 5.3.2
例 5.3.3
所有例题
5.1 节-理想介质中的均匀平面波
理想介质中的均匀平面波的传播特点：
例 5.1.1
例 5.1.2
例 5.1.3
沿任意方向传播的均匀平面波：
例 5.1.4
5.2 节-均匀平面波在导电媒质中的传播
良导体中的均匀平面波：
例 5.2.1
例 5.2.2
5.3 节-电磁波的极化
椭圆极化波：
例 5.3.1
例 5.3.2
例 5.3.3
关于极化波的两道题（考试会出的类型）
第一道题目：
题目：
上面这道题目是沿任意方向传播的均匀平面波，求该平面波电场的极化类型和旋向（即直线极化、左旋/右旋椭圆极化、左旋/右旋圆极化）。
解答如下：
第一种方法：
第二种方法：
第二道题目（2016 年）：
题目如下：
解答如下：
第五小题的第一种方法：
第五小题的第二种方法：
总结：极化波类型的判定方法
第一种类型，给出的是复矢量的形式：
如果给出的是复矢量的形式，那么可以通过教材中叙述的方法进行判断，即将振幅拆分为实部和虚部的形式（ 和 ），具体参照教材中的内容：
第二种类型，给出的是场矢量的形式：
如果给出的电场强度是场矢量的形式，那么：
- 首先需要看空间相位。如 的空间相位为 。如果所有的电场强度分量的空间相位是一致的，那么就说明该波为线极化波，如果相位不一致，那么就需要进行圆极化波和椭圆极化波的判断；
空间相位例子
图中两个分量 和 的空间相位分别为 和 ，容易看出后者的相位超前前者 ；
再看下面这个例子：
此时两个分量的空间相位相同，因此该波为线极化波。
- 如果该波不是线极化波，那么再看各个分量振幅的大小，如果振幅是相等的，说明是圆极化波，需要进一步进行旋向的判断，如果不相等说明是椭圆极化波，也需要进一步进行旋向的判断；
振幅判断例子
上面这个公式中空间相位不相等，不是线极化波，但是它的振幅都为 3，是相等的，因此是圆极化波；
再看下面的公式：
由于两个分量振幅是不相等的，因此是椭圆极化波。
- 最后进行旋向的判断，需要看波的哪个分量是超前的，哪个分量是滞后的，利用 的正负判断旋向（这个公式适用于任意方向传播的极化波）， 的值由空间相位确定。
旋向判断例子
仍然看下面这个例子，
容易看出两个分量的空间相位分别为 和 ，后者相位超前前者，从空间相位中也能看出来，波是朝着 x 正向传播的。那么根据公式 （注意 z 方向是负的） ，结合空间坐标系中 x y z 三个分量的关系，可以得出 ，符合右手螺旋关系，是右旋圆极化波；
如果两个分量振幅不相等就是右旋椭圆极化波，如下面公式所示：
如果波是沿任意方向传播的，比如沿 方向传播（ 的值可以看 “x+y” 位置 x y z 三个分量的系数来确定）：
空间相位关系为 超前 ，根据公式
因此为右旋椭圆极化波。
平面波与均匀平面波的判断
如果电场强度的公式中空间相位取某一常数时，电场强度在一个面内，那么它就是平面波；
如果在这个面内电场强度的振幅、方向、相位一致，那么它就是均匀平面波，否则就是非均匀的。
如下面的公式：
这个波是平面波，但不是均匀平面波；
关于均匀平面波的例题
题目（2016 年）：
解答
5.4 节均匀平面波在各向异性媒质中的传播我们学校并没有纳入考试范围，感兴趣的可以去教材原文查看。
均匀平面波的反射与透射（第六章）
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第六章教材全部内容。
引入
6.1 节-均匀平面波对分界平面的垂直入射
例 6.1.1
上面定义了电场的反射系数和透射系数，但有时，题目中只给出磁场强度的公式时，可以利用磁场强度的反射系数和透射系数来求解（当然也可以将磁场先转换为电场，求出反射和透射电场后再转换磁场），磁场强度的反射系数为：
透射系数为：
例 6.1.2
6.2 节-均匀平面波对多层介质分解平面的垂直入射
例 6.2.1
6.3 节-均匀平面波对理想介质分界平面的斜入射
注意图中的菲涅尔公式中只使用了 和 角，并没有使用到 角。
上面红字部分的结论比较重要。它的意思是说，在题目给定入射波的方程为电场时，直接根据电场是垂直于入射面还是平行于入射面选择相应的反射系数和透射系数即可。
但是当给定的入射波方程为磁场时，若磁场是沿 方向的，那么就说明电场是平行于入射面的，需要选择平行极化波的反射系数和透射系数；若磁场是平行于入射面的，那么就说明电场是垂直于入射面的，需要选择垂直极化波的反射系数和透射系数。
例 6.3.1
6.4 节-均匀平面波对理想导体分解平面的斜入射
例 6.4.1
例 6.4.2
例 6.4.3
所有例题
6.1 节-均匀平面波对分界平面的垂直入射
6.1.1 对理想导体平面的垂直入射
例 6.1.1
6.1.2 对理想介质分界面的垂直入射
例 6.1.2
6.2 节-均匀平面波对多层介质分解平面的垂直入射
6.2.2 四分之一波长匹配层
例 6.2.1
6.3 节-均匀平面波对理想介质分界平面的斜入射
6.3.3 全反射和全透射
例 6.3.1
6.4 节-均匀平面波对理想导体分解平面的斜入射
6.4.1 垂直极化波对理想导体表面的斜入射
例 6.4.1
6.4.2 平行极化波对理想导体表面的斜入射
例 6.4.2
例 6.4.3
6.5 节均匀平面波在负折射率媒质表面上的反射和透射我们学校并没有纳入考试范围，感兴趣的可以去教材原文查看。
导行电磁波（第七章）
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第七章教材全部内容。
引入
7.1 节-导行电磁波概论
上面的式子 (7.1.5a) ~ (7.1.5b) 这个式子非常重要，将这两个公式记住，后面所有的 TEM 波、TE 波、 TM 波 的公式就都能够推导出来，记住这四个式子就能少背十几个式子。
还有一点需要特别注意，只有当传输的波为均匀平面波的时候， 才会等于 ，其中 和 都是相位常数。均匀平面波的特点就是电场和磁场的振幅方向与传播方向是垂直的，就是本章所讨论的 TEM 波，因此可以由式 (7.1.7) 看到，TEM 波满足 。
如果传输的波是 TE 波 或是 TM 波的时候， 这个条件就不再满足了（但是 仍然成立），因此在后面会定义一个新的相位常数 ，它会满足 这个公式（与 k 类似， 满足 这个公式）。
7.2 节-矩形波导
关于上面 TM 模和 TE 模中的 m n 能否同时为零的问题，我是这样想的：
- 对于 TM 模而言，由于磁场只有横向分量，且磁场是有旋场，因此磁场的 x 分量和 y 分量都必须存在，如果 m 和 n 有一者为 0，那么磁场就不再是闭合的了，因此不能同时为 0；
- 对于 TE 模而言，由于电场只有横向分量，且电场是有散场，因此电场可以只有 x 分量或只有 y 分量，但 m 和 n 不能同时为 0，因为如果同时为 0 就意味着没有电场存在了，那么也就不满足 TE 波 E ≠ 0 的定义了。
同时，从上面的讨论中，我们可以知道， （截止波长）只与 m 和 n 的值有关，即与 模 有关，而相位常数 k 与输入导波系统的波的频率有关。
例 7.2.1
例 7.2.2
例 7.2.3
7.4 节-同轴波导
7.5 节-谐振腔
边界条件回顾
例 7.5.1
例 7.5.2
7.6 节-传输线
下面的图 7.6.2 似乎有问题？
我通过图 7.6.2 推出的基尔霍夫定律与教材中的不一样，如果要推出下面教材的公式，需要依据我修改后的这张图，当然如果是我错了，欢迎大家在评论区指正。
上面的无损耗线电阻公式需要记住，是必考的。
所有例题
7.2 节-矩形波导
7.2.2 矩形波导中波的传播参数
例 7.2.1
例 7.2.2
7.2.3 矩形波导中的主模
例 7.2.3
7.5 节-谐振腔
模
例 7.5.1
矩形谐振腔的品质因数
例 7.5.2
重要例题（考试原题）
题目（2016 年）：
解答
7.3 节-圆柱形波导老师说实际生活中用的不多，仅作了解。
第八章的内容不属于重点，不会考大题，但可能会靠简答和填空题，因此只需要阅读第八章的 ppt，将你认为重点的内容记下即可。
（南理应考）简答题考点准备
简答题这个题型的设立是为了让我们要清楚公式定理的含义、来源，而不单单只是记住了公式。下面的内容是我阅读教材时总结的可能会成为简答题的考点（非官方）。
简答题提醒主要有解释公式含义、公式推导以及定理描述，下面的部分中公式推导涉及不多，公式推导需要大家自行阅读教材推导过程。
过去部分考试考过的简答题
每一年考的简答题都会有一两道和前几年的相同。
以电介质为例，阐述线性媒质和各向同性媒质的含义，写出线性各向同性媒质中电磁场的本构关系：
从麦克斯韦方程出发推导电荷守恒定律：
麦克斯韦方程并不相互独立的原因：
简述静态场的唯一性定理：
简述坡印廷定理的含义：
根据下面的教材内容自己浓缩一下。
什么是时谐电磁场，研究时谐电磁场有什么意义？
静态场的边值条件：
引入位函数的意义：
引入洛伦兹条件的意义：
什么是导波系统，列举至少 3 种导波结构及可以传播的电磁波模式：
矩形波导中不能传输 TEM 波，可以传输 TE 波和 TM 波；
圆柱形波导中不能传输 TEM 波，可以传输 TE 波和 TM 波；
同轴线传输线中可以在任意频率下传输 TEM 波，在高频时可以传输 TE 波和 TM 波；
双线传输线中可以在任意频率下传输 TEM 波，在高频时可能产生 TE 或 TM 模式（但在设计中应尽量避免）；
谐振腔中可以传输 TE 波和 TM 波；
微带线中可以传输准 TEM 波，高频下可能产生 TE 或 TM 模式；
均匀传输线的工作状态及其实现条件和特点：
2.6 节-麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组的积分形式含义：
麦克斯韦方程组的微分形式含义：
3.4 节-静态场的边值问题及解的唯一性
静电场的两类问题：
三类边值问题及其描述：
静电场的唯一性定理：
3.5 节-镜像法
镜像法的基本思想：
镜像法的原则：
4.1 节-波动方程
有源区域与无源区域波动方程的推导（无源区域考的概率比较大）：
只要记住了麦克斯韦方程，结合媒质的本构关系很容易就推出来了，无源区域的公式好记，有源区域的公式可以不用记，现场推也花不了多少时间。
波动方程解的理解：
4.2 节-电磁场的位函数
达朗贝尔方程的推导：
坡印廷定理的描述：
本质上就是能量守恒定律。
时变电磁场的唯一性定理：
什么是
4.5 节-时谐电磁场
什么是时谐电磁场？研究它们有什么意义？
5.1 节-理想介质中的均匀平面波
电磁波的传播规律受什么影响？
什么是均匀平面波？
研究均匀平面波有什么意义？
理想介质中均匀平面波的传播特点：
5.2 节-均匀平面波在导电媒质中的传播
色散的定义：
导电媒质中均匀平面波的传播特点：
色散方式的分类：
5.3 节-电磁波的极化
电磁波极化的概念：
6.2 节-均匀平面波对多层介质分解平面的垂直入射
什么是四分之一波长匹配层，有什么作用？
当在两种不同的媒质间插入一层厚度为 的媒质时，可以得到等效阻抗 ，若此时 ，那么等效阻抗 ，反射系数 。
因此：
什么是半波长介质窗，有什么作用？
当在两种相同的媒质间插入一层厚度为 的媒质时，可以得到等效阻抗 ，由此可以推出媒质 1 与 媒质 2 分界面上的反射系数 ，进一步地可以得到透射波电场强度与入射波电场强度之间满足：
7.1 节-导行电磁波概论
什么是导波系统，列举至少 3 种导波结构及可以传播的电磁波模式：
矩形波导中不能传输 TEM 波，可以传输 TE 波和 TM 波；
圆柱形波导中不能传输 TEM 波，可以传输 TE 波和 TM 波；
同轴线传输线中可以在任意频率下传输 TEM 波，在高频时可以传输 TE 波和 TM 波；
双线传输线中可以在任意频率下传输 TEM 波，在高频时可能产生 TE 或 TM 模式（但在设计中应尽量避免）；
微带线中可以传输准 TEM 波，高频下可能产生 TE 或 TM 模式；
导波系统中的电磁波可以分为哪几类，是如何进行分类的？
为什么空心导体波导中不能传输 TEM 波？
导波系统何时处于导通状态，何时处于截止状态，为什么？
7.5 节-谐振腔
什么是谐振腔，它的特点是什么：
如果本篇笔记对你有用，能否『请我吃根棒棒糖🍭 』🤠…