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Mar 13, 2024
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郭宝龙，大二
课程链接：信号与系统_郭宝龙_bilibili （链接视频可能会失效，若失效，b 站搜索 郭宝龙信号与系统即可）
🎉欢迎大家来到我的博客！！🎉
信号与系统的笔记是我大二时候做的，大二时刚开始使用电脑做笔记，当时也没有想着要把笔记发布到博客上，因此排版上可能会显得有些乱，如果要重新整理会比较费时间（以后如果空闲了可能会重新梳理一下笔记）。
笔记的内容是和网课的顺序一致的，不过由于条目很多，因此可以当作是知识检索库来用。
另外请大家尽量用电脑来进行查看笔记，会有最好的显示效果。
P.S. 一定要善于利用网页搜索键 【Ctrl+F】喔！！
全课程的三个关键问题
- 基本信号及基本响应
- 任意信号的分解
将任意信号分解为基本信号的线性组合，其响应也就是基本信号响应的线性组合了
- LTI 系统的分析
将基本信号的面积求出来
信号的基本概念
📝 CLASS NOTES
信号的分类：
- 确定信号与不确定信号（随机信号）——确定信号在记录之前就已经知道波形和各个时刻的值，而随机信号只有在信号输出之后才能够记录下来。
- 不确定信号的使用统计规律性进行描述，可以通过确定信号来推测。
- 以有理数为周期的函数相加后仍然是周期函数，以无理数为周期的函数相加后不是周期函数。
- 正弦序列不一定是周期信号，两个周期序列相加后是周期信号。
能量和平均功率的定义：
能量有限信号：信号的能量小于无穷大，此时 T 趋近于无穷大，P=0
功率有限信号：信号的功率小于无穷大，能量在无限区间内趋近于无穷，但在有限区间内为有限。
四种函数之间的关系
广义函数：用于检验函数性质的函数，表达式为：
即检验 g(t) 函数的性质。
如 就定义了冲激函数。
冲激函数的几个性质：
- 时移和缩放
- 奇偶性： 是一个偶函数，而 是一个奇函数。
基本信号、基本运算、系统的介绍
📝 CLASS NOTES
基本信号：
单位脉冲序列和单位阶跃序列
单位脉冲序列定义：
单位脉冲序列的取样性质：
单位阶跃序列定义：
单位阶跃序列和脉冲序列之间的关系：
Sa(t) 函数：
Sa(t) 函数被称为是采样函数，它的定义式为 ，Sa 函数的傅里叶正逆变换如下图所示：
其中， 与 表示的就是门函数，下标的值为门函数的宽度，门函数的高度（幅度）为 1。
Sa 函数最开始是时域周期矩形脉冲的傅里叶级数，同时，它也可以是低通滤波器的时域表达式，具体的图像如下：
信号的运算：
加减乘：只有加减乘运算，加减乘指同一时刻两信号之值对应加减乘。
反转：以纵坐标为轴反转 180°。
平移：略。
尺度变换：略。只需注意离散信号只有 ak （系数）为整数时才有意义。
上述的六种运算次序没有要求，但需要注意的是六种运算必须都是针对 t 进行的。
例题：
上述的四种运算中，反转运算和尺度变换运算都是针对 t 这个参数进行的，如果 t 之后有系数的话，系数不需要发生变换。平移运算需要将平移量与 t 绑定起来，如 f(-t) 右移 1 个单位 → f(-(t-1)) = f(-t+1)。
再举一个例子，假如有一个阶跃信号 u[n] ，在 n > 0 的时候，u[n] = 1， n < 0 的时候，u[n] = 0。那么 u[-n+3] 就相当与是 u[n] → u[n+3] (左移 3 个单位) → u[-n+3] (反转)，或者也可以等效为： u[n] → u[-n](先反转) → u[-(n-3)] = u[-n+3](然后再平移)
系统：
本门课程主要研究处理电信号的系统。
关于下标的一些说明：
系统的输入和系统的状态的下标分别使用 f 和 x 来表示，即 表示系统输入产生的响应， 表示系统状态产生的响应。
系统的输出是由系统本身的状态和系统的输入共同决定的。
线性系统：可以理解为输入的线性组合可以产生输出的线性组合。
动态系统：又被称为记忆系统，系统当前的状态与过去的时刻值有关，如电路中含有电容、电感等元件时，系统就是动态系统。同理，无记忆系统的值就只与当前时刻的值有关。
线性系统的判断：
一个系统要成为线性系统需要满足三个条件：
- 可分解性：一个系统能够分解为零输入响应和零状态响应的和，不包含零输入响应和零状态响应的组合形式。
- 零状态线性：零状态响应可分解为零状态响应的线性组合(可加性和齐次性)的形式。
- 零输入线性：零输入响应可分解为零输入响应的线性组合(可加性和齐次性)的形式。
例题 1：
例题 2：
时变系统与非时变系统：
若系统的零状态响应与输入激励的关系不随输入激励作用于系统的时间起点而改变，就称为时不变系统。否则，就称为时变系统。
系统的输出不随输入的时间而变化，即今天开灯和明天开灯都会产生相同的结果。
导数和积分的符号表示：
因果系统与反因果系统：
因果系统是指零状态响应不会出现在激励之前的系统。
如果系统的输入因为时移或者是缩放使得 t 时刻的输入产生了 t 时刻之前的输出，那么就称该系统是反因果系统。如 y = f(2t)、y(t) = f(t+1) 就是反因果系统。
在给定函数关系的条件下，因果性的判别：
当 t < 0 时，h(t) = 0，即系统的单位冲激响应在 t < 0 时为 0，那么该系统就是因果系统。
如果 t ＞ 0时，h(t) ≠ 0，不能判断系统是否是因果系统。
此时需要通过判断系统未来的值是否对当前的值造成影响来进行判断。
系统的稳定性：
利用冲激响应判断系统稳定性
系统的稳定性可以通过其冲激响应的性质来评估。具体方法如下：
- 连续时间系统： 对于连续时间系统，如果冲激响应 ( h(t) ) 满足以下条件之一，则系统是稳定的：
- 冲激响应 ( h(t) ) 在 ( ) 时趋于零。
- 冲激响应 ( h(t) ) 的积分 ( ) 是有限的。
如果以上条件成立，则系统是稳定的。否则，系统可能是不稳定的。
- 离散时间系统： 对于离散时间系统，如果冲激响应 ( h[n] ) 满足以下条件之一，则系统是稳定的：
- 冲激响应 ( h[n] ) 在 ( ) 时趋于零。
- 冲激响应 ( h[n] ) 的绝对值的和 ( ) 是有限的。
如果以上条件成立，则系统是稳定的。否则，系统可能是不稳定的。
- 极点分析法：
- 连续时间系统：分析系统的极点（传递函数的分母多项式的根），如果所有极点的实部均为负，则系统是稳定的。
- 离散时间系统：分析系统的极点（传递函数的分母多项式的根），如果所有极点的模都小于1，则系统是稳定的。
零输入响应和零状态响应的理解：
例题及求解：
求解的过程及思路：
根据上面列出的两个等式，可以解出系统的零输入响应和零状态响应。然后线性时不变性质就可以解出系统在输入 作用下的零状态响应。
本题旨在说明，系统的线性和时不变性指的就是零状态和零输入响应的线性和时不变性。
微分方程的框图表示：
三种基本运算：加法、数乘和微分。
三种基本器件：加法器、数乘器及积分器。
符号表示：
例题 1（系统框图的绘制）：
解答：
例题 2：
通过引入中间变量 x(t) 的方式来进行求解：
假设输入信号产生的响应的形式与原题中的一致，那么可以画出上述的框图结构为：
因此，根据系统的线性时不变性，可以得出系统的响应为 。
可以理解为 x(t) 作为中间变量，其意义相当于是 f(t) 的响应，而题目中原来的响应 却是以 为输入变量的 ，因此可以得出上面的关系式。
例题 3（包含辅助框图）：
解这道例题的关键在于求和器，列方程围绕求和器来列。
如果上面的方程没能理解，可以参照下图辅助理解：
上题能够那样做的原因是因为系统满足线性时不变的性质。
微分方程的求解
📝 CLASS NOTES
微分方程的经典解法：
完全解 = 齐次解（等式右侧等于 0）＋ 特解
齐次解可以通过求特征方程的方式解出。
特解需要假定与原方程输入相似的形式代入求解。
齐次解的求法：
特解的求法：
例题：
第一题的解答：
第二题的解答：
初始值和初始状态(等式右边含有 )：
初始值指的是系统在 的值，初始状态指的是系统在 的时候的取值。
在信号与系统这门课中，信号的突变处是可以进行求导的，信号在 的值与在 时刻的值如果发生了突变，这个突变点的导数可以用 函数来表示。
例题：
题目：
求解过程：
例题结论：结论：微分方程等号右端含有 时，仅在等号左端 y(t)的最高阶导数中含有 δ(t)，则 y(t) 的次高阶跃变，其余连续；若右端不含冲激函数，则不会跃变。
零输入响应和零状态响应的求解
📝 CLASS NOTES
零输入响应
单纯由状态产生的响应。
零输入响应的初始状态值与初始值是相同的，也就是说系统在 t = 0 的时候不发生跃变， ，下面通过例题来理解零输入响应。
例题：
题目：
在这个题目中，等式的左边表示系统的状态，不随输入的大小而发生改变，右边反应系统的输入，在计算零输入响应时，系统的输入为 0，因此等式右边为 0。
因此零输入响应的求解也可以看作是齐次方程的求解。
求解过程：
注意，解出来的零输入响应是有 t 的范围要求的，t > 0
零状态响应
零状态响应指的是系统的状态为 0 的响应，只考虑输入造成的影响。
零状态响应的初始值需要看输入的函数是什么形式，如果输入函数中包含 ，则需要判断 与 在 t = 0 时是否会发生跃变，一般是 会发生跃变， 不会发生跃变。
例题：
题目：
求解过程：
零状态响应的求解过程中，需要注意的是，既要求得齐次解，又要求得特解。
思维导图：
响应的分类：
第一种分类方法：固有响应和强迫响应
固有响应指的就是系统本身所具有的响应，与系统的特征有关，也与齐次解有关。
强迫响应是外界施加后产生的响应，与输入有关。
第二种分类方法：暂态响应和稳态响应
暂态响应是当 t → ∞ 时，响应值趋近于 0 的响应，稳态响应是当 t → ∞ 时，响应值不趋近于 0 的响应。
matlab模拟系统响应（零状态响应）
冲激响应和阶跃响应的求解
📝 CLASS NOTES
冲激响应和阶跃响应的的定义
由冲激函数在系统为零状态时产生的响应叫作冲激响应，使用 h(t) 表示。
由阶跃函数在系统为零状态时产生的响应叫作阶跃响应，使用 g(t) 表示。
冲激响应的求法
例题：
题目：
求解过程：
阶跃响应的求法
注意，阶跃响应默认满足的两个条件：
- f(t) = ε(t)
- g(0₋) = 0 和 g’(0₋) = 0
求解阶跃响应的两种方法：
第一种：
第二种：
例题：
题目：
求解过程：
matlab模拟冲激响应和阶跃响应（零输入响应）
卷积
📝 CLASS NOTES
卷积的引入
卷积的来源：
由图中两幅图可以得出，。在得出了这个公式后，接着看下图：
以 的整数倍所对应的 f(t) 的值作为脉冲值，则 。
进一步可以推导出，，
取极限后
于是便将 f(t) 这个式子转换为了卷积的表达式。
卷积积分的定义及理解：
对于任意的两个函数（信号），都可以定义如下的卷积积分：
卷积积分实际上可以这样理解：相当于是两个函数 与 相乘后得到一个新的函数 ，再对这个新的函数进行积分（也就是所谓的求面积）得到结果。
卷积积分的计算方法：
第一种方法——直观法：
计算卷积积分的时候，可以把 作为计算的突破口，如上式中，。
第二种方法——图解法：
对 进行积分变换，画出 与 的图像，根据重叠部分的面积进行计算。
例题：
题目：
求解过程：
注意，在上面最后求结果的过程中，不是计算重叠面积，而是计算 乘积后的函数，对这个函数求积分（也就是求面积），先求乘积，后求面积。
卷积的性质
卷积积分的代数性质：
奇异函数的卷积性质：
注意第二个公式，原本这个式子前面有一个负号，但是由于 中 前面的系数是负的，于是就把原来的负号给抵消了。
卷积的微积分性质：
对于第三个性质的一些理解：在进行卷积积分时，如果函数 （也就是被导函数）在 t=-∞ 处为零值，或 （被积分函数）整个积分净面积为零值( )，满足其中一个条件性质 3 即可成立。
卷积的时移特性：
两个函数时移后的卷积等于卷积后得到的函数的时移，时移的值等于两个函数时移值的总和。在利用这个公式时，有一个公式可以记忆一下：
例题：
题目：
求解过程：
卷积常用公式
卷积的重要公式：
还有一个比较特别的 ：
例题：
题目：
求解过程：
梳状函数的卷积后产生的信号：
何为梳状函数？
满足下列式子的函数：
梳状函数的图像如下：
梳状函数的的卷积特性
梳状函数是周期函数，与 f(t) 作卷积后，结果仍然为周期函数。
矩形函数→三角形脉冲
矩形函数→梯形脉冲
matlab求卷积
利用 conv(f1, f2) 函数求取。
相关函数的介绍
📝 CLASS NOTES
互相关函数
为比较某信号与另一延时z的信号之间的相似度，需要引入相关函数的概念。相关函数是鉴别信号的有力工具，被广泛应用于雷达回波的识别，通信同步信号的识别等领域。相关函数也称为相关积分，它与卷积的运算方法类似。
互相关函数指的是两信号之间时间差为 的函数，一般 ，但是满足关系：，。
的物理意义：
这个式子说明了 1 函数比 2 函数超前了 。
互相关函数表示的是两个函数之间的相似程度，旨在说明两个函数之间的相似程度。
自相关函数
定义式如下：
自相关函数是一个实偶函数（暂时可以当作是一个偶函数），满足 。
自相关函数表示的是信号自身与自身之间的相关程度，符号上直接使用 来表示，而无需区分 和 。
相关函数的实际应用
通过在雷达上的应用进一步深入理解相关函数：
比如飞机向前方的一个建筑物发射一串信号以测量与建筑间的距离，信号经过建筑物的反射后会和众多干扰信号一起被飞机上的天线接收到。
我们可以将发射出去的信号与反射回来的信号看作是两个由不同的函数表示的信号，即互相关信号。为了要得到准确的反射信号的信息，需要对众多的信号进行分析，判断哪一串信号是反射信号，哪些信号是干扰信号。因此互相关函数的判断就派上了用场，互相关函数会将发射信号与众多被接收到的信号作相似性的分析，将相似程度最高的信号作为反射信号。知道了反射信号以后，便可以通过与发射信号的对比计算出时间差，有了时间差和信号传播的速度，便可以进一步的计算出飞机距离建筑物的距离。
相关函数和卷积之间的比较
相关函数与卷积的运算十分的相似，都是进行积分，积分上下限都是两个无穷。
但是，在函数的括号内部却有着小小的不同：
卷积运算：
相关性运算：
通过上面的观察可以得知，卷积运算与相关性运算之间满足：
算子介绍、差分方程引入
📝 CLASS NOTES
微分算子
需要注意的是，p 不是一个变量，而是一种运算。
微分算子的性质——对于正幂多项式
- 因式分解。
- 交换律。
- 等式两边的公因子（包含 p）不能随便消去 。
- 先积分后微分的式子可以消去，但是先微分后积分的式子不能够消去。
传输算子
通过算子对线性时不变系统的特性进行描述：
RLC 微分算子模型
电路研究的问题是 已知电路的结构和参数求电路的各个元件的电流和电压。因此，只要知道电路的结构和参数，结合微分算子简便运算，就可以方便的求解电路。
图中利用微分算子将电容和电感元件的电压和电流关系表示出来，元件上方的参数可以当作是元件的虚电阻，在电路中，直接看作电阻来列方程。
差分方程的模拟框图
实际上，差分方程的模拟框图分析与微分方程的一致。
差分方程的性质：
差分方程的建立和求解
类比微分方程：
前项差分和后项差分：
前项差分：
后项差分：
前项差分运算：
后项差分运算：
差分方程的求解
📝 CLASS NOTES
差分方程的求解方法：
- 递推迭代法。
- 经典解法。
例题：
题目：
求解过程：
零输入响应的求解方法：
零输入响应需要确保有初值和能够用于求解的齐次方程。
零状态响应的求解方法：
例题：
题目：
求解过程：
matlab求解离散系统的零状态响应
单位脉冲序列及响应
📝 CLASS NOTES
离散信号的表示
只在离散的点上有定义，在等间隔的点上取值，每个点上取的值称作序列值，原点为参考点。
单位脉冲序列
脉冲序列、阶跃序列与连续脉冲信号、阶跃信号的类比
单位脉冲响应
定义：
求解方法：
例题：
题目：
求解过程：
单位阶跃响应
例题：
题目：
求解过程：
卷积和计算
📝 CLASS NOTES
单位脉冲序列及单位阶跃序列的关系
例题：
题目：
求解过程：
matlab 求解离散信号的单位脉冲响应
序列的时域分解
卷积和公式的推导
零状态响应计算公式。
由于任何函数都可以表示为 的形式（序列的时域分解），将图中的每个 都看作是一个常数，那么就可以得到零状态响应的表达式。
卷积和公式的定义
零状态响应。
卷积和的不进位乘法运算
例题：
题目：
求解过程：
例题：
题目：
求解过程：
常用卷积和的计算公
matlab 求解离散系统卷积和
傅里叶变换
📝 CLASS NOTES
引入部分
频域分析
与时域分析相对应，以正弦信号与虚指数信号为基本信号。
矢量正交
两个矢量 V₁ 和 V₂的夹角成 90°，内积为 0，就称他们是正交的。
非正交矢量的近似表示及误差
任意矢量正交分解
信号的正交分解
完备正交函数集
两个比较重要的完备正交函数极：
帕斯瓦尔定理
最终帕斯瓦尔公式可以写成
为什么帕斯瓦尔方程的右侧是先积分再求和呢？ 吗？
这是因为正交基中的函数彼此独立，它们的交叉项在积分中会相互抵消。因此，当我们计算 () 的能量时，我们只需要考虑每个 ( ) 项的能量，而不是它们的交叉项。
帕斯瓦尔定理的意义：
帕斯瓦尔定理表明，一个函数在时域的能量等于它在频域的能量。对于离散信号，这可以表示为信号的平方和等于其傅里叶变换的平方和。对于连续信号，这意味着函数的平方的积分等于其傅里叶变换的平方的积分。
广义的傅里叶变换
傅里叶级数的变换：
傅里叶变换计算时的一个小技巧：
傅里叶变换的指数形式
三角形式的傅里叶级数理解起来比较简单，但在实际应用中常采用指数形式的傅里叶级数，因为计算起来比较方便。
转换过程如下：
频谱
频谱
分为幅度谱和相位谱两个，他们都是以频率为 横轴，以系数值为纵轴，因此只要知道了幅度谱和相位谱在每个频率下的值，就可以写出原函数。
单边谱和双边谱
例题：
题目：
求解过程：
周期信号频谱的特点
周期信号频谱的特点：
周期信号频谱的例题
题目：
求解过程：
Sa 函数：
Sa 函数，即 ，它的图像如下图所示：
谱线结构与波形函数的关系：
上面的这种现象称为“时域压缩，频域展宽”。
周期信号的功率：
频带宽度：
只有当系统的通频带大于系统的带宽时，才能保证系统的信号是不失真的。
常用傅里叶变换及其性质
频谱密度函数
推导：
最开始的时候，所有的周期函数频率在频谱上都是离散的，因为频谱具有的一个性质就是离散性。但是当周期函数的周期趋近于无穷大的时候，根据前面的特性，τ 保持不变，则零点位置会越来越远，每两个零点之间的频谱的数量会越来越多，可以看作是连续的，同时直流分量的幅度会越来越小。
F(n) 是实际双边谱的强度，而 F(jω) 是原来的频谱放大了无穷大倍后看到的频谱，也可以简称为频谱。
傅里叶变换
傅里叶正变换
上述的频谱密度函数 即为傅里叶正变换的定义式。
周期信号画频谱画 或是 之间的关系，非周期信号画频谱画上述的模的幅频特性或是相频特性。
傅里叶逆变换：
正反两种变换结合起来就称为“傅里叶变换对”
常用信号的傅里叶变换：
单边指数函数
双边指数函数
★ 门函数
其频谱图如下：
冲激函数
常数 1 的傅里叶变换
我们知道，一个函数要能够进行傅里叶变换，需要在定义域范围内满足绝对可积的条件，而常数 1 不满足这个条件，因此需要采用其他方法来进行计算。这里采用的是使用广义傅里叶变换来进行。广义傅里叶变换是指用其他绝对可积函数的傅里叶变换来近似模拟非绝对可积函数的傅里叶变换。可以参照图中过程理解：
符号函数的傅里叶变换
与常数 1 的傅里叶变换其实本质上是一致的。
阶跃函数的傅里叶变换
正余弦函数的傅里叶变换
傅里叶变换的性质
线性性质
奇偶性
f(t) 的奇偶虚实性对 F(jω) 的奇偶虚实性的影响：
探究这种影响时，需要先利用欧拉公式对 F(jω) 进行转换。
- f(t) 为实函数。R(ω) 为偶函数，X(ω) 为奇函数，此时 F(-jω) = F*(jω) （即 F(jω) 的共轭）。
- f(t) 为实偶函数。则 。F(jω) 为实偶函数。
- f(t) 为实奇函数。则 。F(jω) 为虚奇函数。
- f(t) 为虚函数。判断方法与上述类似，不再赘述。
周期信号的对称性和谐波性
对称性
尺度变换
时移性
频移特性
★ 卷积定理
时域微积分
频域微积分
周期信号的傅里叶变换
能量谱
功率谱
当能量谱不存在时求功率谱。
周期信号的傅里叶变换
公式 1：
周期序列 δ 的傅里叶变换仍然是 δ 序列 ：
题目：
求解过程：
公式 2：
这个公式的用处：在已知傅里叶变换的时候可以求出傅里叶级数的系数。
根据公式 1 和公式 2 可以得到 新的计算公式如下：
作用于 LTI 系统的响应——傅里叶分析法
在LTI系统中， 可以看作是基本信号，在信号与系统中，研究一个系统的响应首先都是要研究它的基本信号及其响应，然后推广到一般信号及其响应。
基本信号
频率响应函数：
一般信号
由于任意一个信号都可以分解为 的线性组合（齐次性和可加性），因此得出了 的频域响应，就可以得出输入信号的频域响应。
其中， 。
周期信号与非周期信号的傅里叶分析法
接下来介绍求解周期信号的傅里叶技术分析法：
无失真传输、采样定理
📝 CLASS NOTES
无失真传输
例题：
理想低通滤波器（LPF——low pass filter）
理想低通滤波器的冲激响应和阶跃响应：
冲激响应 
阶跃响应 
物理可实现条件
信号的取样 ⭐
信号的取样对于处理自然界的信息来说至关重要，自然界中的信号基本上都是连续信号，而为了要将这些信号在计算机中进行处理，就必须将它们转换成数字信号，数字信号是离散信号，因此对连续信号进行采样进而得到离散信号就至关重要了。
取样的定义：
取样的方法和局限：
周期矩形脉冲序列采样：
注意 ，否则将发生频谱混叠现象，信号失真，导致原信号无法还原。
这里需要记住的是，周期信号作傅里叶变换后，频谱中是一系列单位脉冲信号的叠加和。
对于周期矩形脉冲信号，其傅里叶变换的计算过程如下：
由于周期脉冲矩形序列对于取样的意义重大，而其傅里叶变换为 Sa 函数与单位脉冲函数的乘积，因此 Sa 函数才被称作为 取样函数。
单位冲激函数序列取样：
单位冲激函数序列的傅里叶变换仍为单位冲激函数，表达式为 。
时域采样定理：
奈奎斯特频率和奈奎斯特间隔：
不同运算下的取样频率：
取样后信号的还原——通过低通滤波器：
信号经过一系列处理之后需要对信号进行还原，由于信号在处理过程中可能会引入许多噪声的干扰或是发生混叠现象，因此通过理想滤波器将信号进行还原。
时域采样定理的总结
首先，采样定理的出现是为了将连续信号转换成离散信号方便计算机进行处理。
在使用采样定理时，需要注意输入信号 f(t) 必须是 ，频谱区间为
采样的频率必须要大于奈奎斯特的采样频率，最后还原的信号 f(t) 表达式如下：
采样的频率太小容易发生混叠现象，那么采样频率是否是越大越好呢？
其实并非如此，虽然说采样频率越高，原信号的采样周期越短，可以获取到的信号越多，还原出来的信号也会越精确，但是相应地数据量也会增大。
CD 系统的采样频率：
对于声音的采样，一般采用的频率是 44.1 kHz，因为我们人耳能够听到的声音的频率在 20Hz~20kHz，根据取样定理，采样的频率需要大于奈奎斯特采样频率，也就是大于两倍的最高频率，即 40 kHz，为了留有一定的余量，选用 44.1 kHz。
matlab 实现信号的采样与恢复
离散傅里叶变换
📝 CLASS NOTES
离散傅里叶变换在信号与系统中了解即可，在数字信号处理中比较重要。
为什么要学习离散的傅里叶变换：
离散的傅里叶变换可以处理离散的信号，傅里叶变换最开始是由非周期信号的频谱推出，用于将非周期的时域信号转换为频域信号。为了让计算机能够处理信号，需要对连续信号进行离散化，为了让计算机能够对离散的时域信号进行频域的处理，就需要利用到离散的傅里叶变换。
为了实现离散的傅里叶变换，需要解决两个问题：
① 时域和频域信号是无限大的，而计算机只能处理有限的信号；
② 时域和频域信号都是连续的.
离散的傅里叶变换（DTFT、DFS、DFT）
首先对时域信号进行离散化的处理，将 t 替换为 nΔt：
接着对信号进行归一化处理，即令 Δt 为 1，则
在上面的式子中，离散时间傅里叶变换意味着在做傅里叶变换的时候，将连续的时间信号转变为离散的时间信号后再做傅里叶变换，因此此时得到的频域信号依然是连续的。
X(jω) 是关于 ω 的连续函数，周期为 2π，下面需要对 X(jω) 这个频域函数进行离散化（DFT）：
上述考虑的函数在时域中都是非周期函数，对于周期函数而言，需要另外考虑其傅里叶级数（DFS）：
在进行 DFS 的时候，需要先弄清楚的一点是，对于周期信号的傅里叶变换而言，其傅里叶级数的系数就是其傅里叶变换的结果，因为周期信号的频谱本身就是表示傅里叶级数的系数与频率之间的关系的，非周期信号的频谱（或者更准确的叫频率密度谱）也是由傅里叶级数推导而来的。傅里叶级数系数（周期信号的频谱）可以理解为是周期信号的傅里叶变换。
与上面的情况相同，离散的傅里叶级数指的是先将傅里叶级数系数进行离散化，然后将其组合成傅里叶级数的形式，此时的 X(jkΩ) 是关于 Ω 的连续函数，因此需要对其进行离散化处理，幸运的是，它离散化处理后的结果与 DFT 的结果是一致的：
DFS 的第一个公式 （）与上图中的公式 （）虽然看上去是差不多的，但意义上是有差别的，前者是单纯的傅里叶级数，此时的 k 是固定的，计算的是特定的 ，后者是将序列的一个周期取出来，此时 k 从 0 变换到 N-1，在 k 取某个定值的时候与前者是相同的，但后者表示的是一个周期下的傅里叶级数的集合。
五种变换的特性表：
五种变换的图像如下面所示：
若某个信号在时域（ 或频域） 内是周期的， 则经变换（ 或反变换） 后其变换结果在频域（ 或时域） 内是离散的；若信号在时域（ 或频域） 内是离散的， 则其变换（ 或反变换） 结果在频域（ 或时域） 内是周期的。周期性和离散性呈现出对偶关系。
离散傅里叶变换（DFT）的进一步定义
快速傅里叶变换（FFT）
📝 CLASS NOTES
快速傅里叶变换在信号与系统这门课中并不重要，了解即可，但在后面的数字信号处理课程中是重点，因此有时间的同学可以先听一听。
引入原因： 如果计算机使用 DFT 进行傅里叶变换，需要进行 N² 次的复数运算，速度会比较慢，因此需要对 DFT 进行改进。
DFT 的基本原理
DFT 的基本性质
FFT 实现的几种方法
基 2 时间抽取法
简单的例题说明：
主值区间
有两种理解方法：本来一个周期信号取其中的一个周期；原来的非周期信号想象成一个周期信号的周期
拉普拉斯变换（包含反变换）
📝 CLASS NOTES
引入拉普拉斯变换的原因：
- 傅里叶变换是针对绝对可积的函数进行的，如果一个函数不满足上述的条件怎么办？
- 傅里叶变换后的函数范围是从负无穷到正无穷的，如果我们希望这个函数是有起始点的应该怎么办？
基于上述目的，在做傅里叶变换的时候为函数乘上一个指数因子 ，适当选取 σ 的值，使乘积信号 f(t) 在 t→∞ 时信号幅度趋近于 0，从而使 的傅里叶变换存在。
拉普拉斯变换
双边拉普拉斯的定义：
收敛域：
拉普拉斯变换相对于傅里叶变换而言乘上了一个 ，而 的存在会影响变换的结果，因此需要对 限制一个范围。只有选择适当的 σ 值才能使积分收敛，信号的双边拉普拉斯变换存在。
因果信号与反因果信号的变换结果：
不同信号作用下的 σ 的范围：
例题：
题目：
求解过程：
单边拉氏变换
单边拉氏变换和双边拉氏变换的区别：
双边拉氏变换在 加上收敛域之后和原函数是一一对应的，而单边拉氏变换的收敛域都是一样的，因此 与 原函数之间是一一对应的。
其次，单边拉普拉斯变换可以方便的表示因果信号，而现实生活中遇到的大多数的信号都是因果信号，因此，单边拉普拉斯变换也是现实中最常用的变换。
（单边）拉氏变换与傅里叶变换的关系
实际上就是需要在复频域内看待傅里叶变换和拉普拉斯变换。
常见信号的拉普拉斯变换
拉普拉斯变换的性质
线性性质和尺度变换的性质：
时移性质和复平移特性：
时域微分性质和时域积分性质：
前面没有符号的原因：
卷积特性：
初值定理与终值定理
初值定理的推导：
终值定理的推导：
拉普拉斯反变换
部分分式展开法进行求解。
单极点的情况：
为什么 P(s) 是由冲激函数及其各阶导数构成的呢？
例题：含真分式的 F(s) 求解：
题目：
求解过程：
例题：分母含共轭复数的分式求解：
题目：
求解过程：
重极点的情况：
例题：
题目：
求解过程：
matlab 求解拉氏变换
电路的 s 域模型
📝 CLASS NOTES
利用 拉氏变换将电路转换为 s 域模型进行求解。
电路约束回顾：
拉普拉斯变换后的电路元件表示
电阻和电感元件：
电容元件：
求解电路的基本方法：
① 首先，将电路中的电流、电压、电感、电容等参数元件使用拉氏变换后的参数进行表示
② 其次，利用电路的基本定理（如线性叠加原理、KCL、KVL等）对电路进行求解，求解的目的是为了求出电路的各支路的电压，电流。
③ 最后，对求解出的结果进行拉式逆变换。
拉氏变换求解微分方程
通过例题来直接理解：
其实步骤无非就是对左右两边进行拉氏变换（利用拉氏变换的微分性质将等式两边的微分式子）化为含 s 的多项式，然后转换成上述 Y(s) 的形式进行求解，最后通过拉式逆变换将结果转换回来，与傅里叶变换大同小异。
时域系统 → 频域系统 的 s 域框图
例题：
系统 H(s) 响应
📝 CLASS NOTES
连续系统函数 H(s) 的定义和求解
H(s) 零极点分布和时域特性
例题：根据零极点表达式求解 H(s) 表达式：
题目：
求解过程：
系统稳定性
由 H(s) 的零点分布可知，当 H(s) 的所有极点均位于左半开平面的时候，系统是稳定的。
因此要想确认一个系统是否是稳定的，有以下两种方法：
定义法：
罗斯矩阵判别法：
matlab 绘制零点图，判断系统稳定性
H(s) 与 H(jω) 的关系
matlab 求解系统频率响应函数，判断系统稳定性
梅森公式
📝 CLASS NOTES
信号流图
定义 ：
信号流图是由结点和有向线段组成的几何图形。它可以简化系统的表示，并便于计算系统函数。
常用术语：
梅森公式
给定一个系统，无论是信号框图还是信号流图都可以将其转换为信号流图的形式。
例题：
连续系统的模拟——已知 H(s) → 流图
在给定一个复杂的系统的时候，如何通过复杂系统的 H(s) 画出系统的流图呢？
（流图 → 信号框图 → 系统的频域表达式 → 系统的时域表达式）
构造思路（基于公式 ）：
- 系统中只含有单环。（保证系统中的 Δ 为 的形式）
- 系统中所有闭环都有一个公共节点，且所有的 通路都经过闭环的公共节点，这样就保证了 始终为 1。 （通路取走以后，不会再有闭环的存在了）
直接形式：
示例：
例题：
题目：
求解过程：
求解出最终信号后，若是写为 1/s 的地方使用积分器替代，写为 b₀ 的地方，使用放大器来替代。
级联形式：
并联形式：
零极点配置
将 jω 和 p₁ 看做是相量，相减后就是由 p₁ 指向 jω 的相量。
Z 变换
📝 CLASS NOTES
z 变换是用于离散系统中的变换。
定义：
注意，如果原来的信号本身就是一个离散信号，则z 变换的公式就是 ，如果原来的信号本身是一个连续信号，则应该先对信号进行筛选，公式是 。
收敛域：
例题 1 （有限长序列）：
题目：
求解过程：
例题 2 （反因果序列）：
题目：
求解过程：
注意：
只有双边 z 变换才需要讨论收敛域，单边 z 变换不需要考虑。
未来在没有特殊声明的时候，z 变换一般指的是单边 z 变换。
常用 z 变换
z 变换的性质
线性性质
移位性质（差分，相当于时域微分）
单边 z 变换的记忆方法：
反转性质
尺度性质（z 域微分）
尺度性质证明：
例题 1：
例题 2：
题目：
求解过程：
时域尺度变换
卷积性质
部分和的 z 变换
初值定理和终值定理
初值定理：
终值定理：
证明过程：
z 变换的逆变换
主要采用幂级数展开法和部分分式展开法进行求解。
幂级数展开法：
部分分式展开法：
单实极点
要记住，计算 的时候， 的值应该要代入 的（展开前的）分式中，不能代入展开后的分式中进行计算。
部分分式展开的时候，需要提前在等式两侧都除以一个 z，提前除以 z 的目的在于部分分式展开后，保证展开后分式的分子一定会有 z 存在（展开后两边再同乘以 z 即可）。 在上述的展开过程中，每个分式的系数 K 都可以通过公式计算出来，这样不仅速度更快，也更不容易出错。
图中 其实就是单位阶跃函数 ，这两种写法是一样的。
例题一
例题二
上述分式展开式时，系数 K 的计算过程如下图所示：
重极点
重极点相对于单极点会比较复杂，但考试一般也不会考这么难的（说是这么说，但我们信号与系统期末的最后一道题倒也罕见的除了这种类型的题），这部分对 的逆变换需要比较熟悉。
一般只需要记住 r 为 2 和 3 时候逆变换的值即可。
例题
共轭单极点
例题
使用性质求 z 变换
周期信号的 z 变换：
z 变换与拉普拉斯变换之间的关系
z 变换求零输入响应、零状态响应
传递函数 H(z)
H(z) 的定义：
H(z) 的极点对输出稳定性的影响：
离散系统稳定性的判断（朱里判据）
使用 H(z) 进行判断：
使用朱里判据进行判断：
当系统函数比较复杂的时候，可以使用 朱里判据 进行判断。
z 域的信号流图
系统框图：
系统框图转换为信号流图：
梅森公式
系统的模拟
正弦稳态响应
频率响应
matlab 绘制零极点图
系统的零极点配置
频率响应的计算：
零极点配置
零极点图
📝 CLASS NOTES
稳定性：
s 域下的频响
z 域下的频响
频率响应
📝 CLASS NOTES
连续系统和离散系统的频率频率
例题：
全通系统的幅频响应
实系数连续时间系统
实系数指的是系统函数 H(s) 的分子和分母都是实系数多项式。
实系数多项式的一个重要性质是，如果它有一个复数根 ( p)，那么它的共轭复数 ( ) 也必须是一个根。这是因为实数的复共轭对其系数的影响抵消。
具体来说，如果 s = a + bj 是多项式 的一个根，则其共轭复数 s = a - bj 也必须是根。这是因为，当我们将 s 代入多项式并取其共轭时，结果仍然是零。即：
的共轭为：
因此，对于一个实系数的多项式，如果有一个复数根，那么其共轭复数也是一个根。
在全通系统中，零点和极点必须以这种共轭对的方式出现，以确保系统的传递函数在复平面上满足全通的性质。对于每个复数极点 -1 + j ，其共轭复数 -1 - j 也必须是一个极点。对应的零点则是 1 - j 和 1 + j ，这样传递函数的分子和分母都能保持实系数，并且系统可以保持全通性质。
系统的状态空间的分析
📝 CLASS NOTES
之前的学习主要关注的是系统的输入和输出之间的关系，并不在意系统内部的状态，是对系统外部的分析。状态空间是对系统内部的分析。
基本概念
连续系统状态方程的建立
状态方程和输出方程
状态方程：
输出方程：
由RLC 系统：
由微分方程：
由框图/流图：
离散系统状态方程的建立
状态方程和输出方程
状态方程：
输出方程：
由后项差分
由前项差分
由流图/框图
状态方程变换域的求解
时域求解：
红框部分公式的证明：
s 域求解：
求解步骤推导：
求解步骤：
z 域求解：
求解步骤推导：
求解步骤：
系统函数矩阵与系统稳定性
通过特征值分析法分析矩阵 A 判断系统的稳定性
A 就是状态方程中的矩阵 A。
特征值分析法的详细解释
特征值分析法是通过分析系统矩阵 A 的特征值来判断系统的稳定性。具体步骤如下：
- 计算特征值： 对于给定的系统矩阵 A ，计算其特征值。特征值 是满足以下方程的值： 其中， 表示行列式，I 是单位矩阵。
- 判断特征值的实部： 通过特征值的实部来判断系统的稳定性。
- 渐近稳定性：对于连续系统，如果所有特征值的实部都为负，系统是渐近稳定的。对于离散系统，如果特征值的绝对值都小于 1，那么该系统就是渐近稳定的。
- 边界稳定性：如果所有特征值的实部都非正，并且具有零实部的特征值对应的若尔当块为一阶块，系统是边界稳定的。
- 不稳定性：如果存在任一特征值的实部为正，系统是不稳定的。
示例
例1：渐近稳定性
考虑矩阵 A ：
- 计算特征值：
特征值 ( ) 满足：
具体计算：
计算行列式：
解方程：
判断稳定性：
特征值 ( ) 和 ( ) 的实部都为负，因此系统是渐近稳定的。
例2：边界稳定性
考虑矩阵 ( A )：
- 计算特征值：
特征值 ( ) 满足：
具体计算：
计算行列式：
解方程：
判断稳定性：
特征值 ( ) 和 ( ）的实部为零，并且这些特征值对应的若尔当块为一阶块，因此系统是边界稳定的。
例3：不稳定性
考虑矩阵 ( A )：
- 计算特征值：
特征值 ( ) 满足：
具体计算：
计算行列式：
解方程：
判断稳定性：
特征值 ( ) 的实部为正，因此系统是不稳定的。
通过以上例子可以看出，特征值分析法是判断线性系统稳定性的有效方法。只需要计算系统矩阵 ( A ) 的特征值，并根据其实部来判断系统的稳定性。
连续系统
离散系统
总结
时域分析的基础——基本信号响应求解的基础（卷积、微分方程）
输入信号与响应之间的关系：
卷积运算的意义：
δ(t) 与 f(t) 卷积的意义：
时域系统的分析——复杂信号及响应的求解
在明确了如何计算基本信号的响应以及如何进行系统的卷积计算以后，就可以对时域系统进行分析了！
新的疑问：上面的公式可以引出利用卷积来计算系统的零状态响应，那么对于 f₁(t) * f₂(t) 这样的卷积，它在信号与系统中的实际意义是什么呢？
频域系统的基础及分析
拉普拉斯变换与傅里叶变换
性质
常见变换
归纳：Matlab 在信号与系统中的应用
连续系统：
matlab模拟系统响应（零状态响应）
matlab模拟冲激响应和阶跃响应（零输入响应）
matlab求卷积
利用 conv(f1, f2) 函数求取。
离散系统：
matlab求解离散系统的零状态响应
matlab 求解离散信号的单位脉冲响应
matlab 求解离散系统卷积和：
频率响应：
matlab 求解系统响应（利用频率响应函数）
采样：
matlab 实现信号的采样与恢复
拉式变换：
matlab 求解拉氏变换
matlab 绘制零点图，判断系统稳定性
matlab 求解系统频率响应函数，判断系统稳定性
零极点图：
matlab 绘制零极点图
系统状态方程：
matlab 建立系统状态方程
matlab 求解连续系统方程
matlab 求解离散系统方程
matlab 求解系统函数矩阵
如果本篇笔记对你有用，能否『请我吃根棒棒糖🍭 』🤠…