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Nov 28, 2024
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本篇笔记用于帮助大家记忆第一、二章的公式，请配合『电磁场笔记』 使用。
第一章：
三个坐标系之间单位矢量的关系
三个坐标系下的梯度、旋度、散度公式
在直角坐标系下， = 1， ， ;
在柱坐标系下， = 1， ， ;
在球坐标系下，， ， ;
梯度的表达式可以用拉梅系数重新写为：
散度的表达式可以用拉梅系数重新写为 ：
旋度的表达式可以用拉梅系数重新写为：
上面两个公式中的 和 是坐标系的三个分量，需要根据具体的坐标系进行调整。 表示的是矢量场，A 表示的是标量场。
现在，我们只需要记住在柱坐标系和球坐标系中 h 的值以及计算公式，就可以写出不同坐标系下的旋度散度公式了。
原先需要记住 6 个公式，现在只需要记住 5 个公式，前者是没有关联的，后者是相互关联的，因此会好记很多。
在这里，柱坐标系中的散度公式需要额外注意一下，它有两种形式：
① ；
② 。
第二种形式是第一种形式的变体，因为 ，而等式右侧的第一个部分 的 ρ 与前面的 相互抵消，等式右侧的第二个部分的 ρ 对 z 求偏导等于 0，因此两个式子是等效的。
梯度、散度、旋度相关公式
散度定理（高斯定理）
散度定理其实就是将 通量 与 散度 联系在一起的定理，通量描述的是面上矢量线的穿入穿出情况，而散度描述的是一个点的发散、聚集情况。
斯托克斯定理
格林定理、亥姆霍兹定理
拉普拉斯运算与格林定理
拉普拉斯运算：
矢量拉普拉斯计算似乎有个口诀来着——”叉积^2 = 梯散 - 双旋“
格林定理：
格林公式的形象解释
假设你有一个区域 V，这个区域是被一个曲面 S 包围的。你可以把 V 想象成一块被一个气球包住的水，而 S 就是这个气球的表面。现在，在这个区域 V 里面有两个场，分别叫 和 ，它们表示某种在区域中的“量”在空间中是如何分布的。比如， 可以代表温度， 可以代表压力。
格林定理告诉我们，想要在整个区域 V 里计算某些量时，可以将计算转化到区域的表面 S 上去，这样计算就变得简单了。定理中的公式涉及一些微分和积分的符号，表面上看起来有些复杂，但它们的核心思想其实就是“将一个区域内的变化，转化为这个区域边界上的变化”。
亥姆霍兹定理
第二章：
电荷密度、电流密度、电荷守恒
电荷体密度、面密度、线密度
电流与电流密度
体电流密度（电流密度矢量）：
体电流密度（电流密度矢量）是有方向的。电流的密度和电荷的密度有所不同，它们针对的量度是不一样的，体电流密度是针对面而言的，面电流密度是针对线而言的。
面电流矢量：
电荷守恒定律
上面最后的公式要注意，是恒定电流才有散度为 0 的特点，是无散场，无源场。
静电场
电荷电场强度公式：
电偶极子公式：
常见的电场强度公式：
散度和旋度：
磁场的安培力定律 & 恒定磁场的散度旋度
电介质
磁介质
传导特性
法拉第电磁感应定律
抄黄色高亮的公式。
位移电流
抄黄色高亮的公式。
麦克斯韦方程组及边界条件
微分形式
积分形式
媒质的本构关系
边界条件
